习题 13, § 1

令$G$为局部紧致群，在局部紧致波兰语空间$T$中连续运行，$\beta$为$G$上的左哈尔测度，$\nu$为$G$下$T$准不变性的正测度。 a) $G \times T$上存在函数$(s, x) \mapsto \chi(s, x) > 0$，局部$(\beta \otimes \nu)$可积，使得对于每个$s \in G$，函数$x \mapsto \chi(s^{-1}, x)$局部$\nu$可积并且满足$\gamma(s)\nu = \chi(s^{-1}, \cdot) \cdot \nu$。 （通过利用 Th 的标准 3，将 $(s, x) \mapsto (s, sx)$ 变换 $\beta \otimes \nu$ 转换为等效度量）。第 2 章。 V, §5, No. 5；令 $\chi(s^{-1}, x)d\beta(s)\, d\nu(x)$ 为等效度量。对于 $\varphi \in \mathscr{H}(G)$ 和 $\psi \in \mathscr{H}(T)$，

从而 $\int \psi(sx)\, d\nu(x) = \int \psi(x)\chi(s^{-1}, x)\, d\nu(x)$ 除了局部 $\beta$ 可忽略不计的集合 $N(\psi)$。接下来利用第 1 章的引理 1。 VI, §3, No. 1；然后在 $(\beta \otimes \nu)$-可忽略的集合上修改 $\chi$。）

b) 证明对于 $G$ 中的任何 $s, t$，有一个

除了$\nu$-可忽略的集合、值或$x$（利用关系$\gamma(st)\nu = \gamma(s)(\gamma(t)\nu)$）。

c) 表明 a) 的函数 $\chi$ 被确定为 $G \times T$ 的局部 $(\beta \otimes \nu)$ 可忽略不计的子集。