Exercice 13, § 1

Soient G un groupe localement compact opérant continûment à gauche dans un espace localement compact polonais T, β une mesure de Haar à gauche sur G, ν une mesure positive sur T quasi-invariante par G.

a) Il existe une fonction $(s, x) \to \chi(s, x) > 0$ sur $G \times T$, localement $(\beta \otimes \nu)$-intégrable, telle que, pour tout $s \in G$, la fonction $x \to \chi(s^{-1}, x)$ soit localement $\nu$-intégrable et vérifie $\gamma(s)\nu = \chi(s^{-1}, .)\nu$. (Montrer que $(s, x) \to (s, sx)$ transforme $\beta \otimes \nu$ en une mesure équivalente, en utilisant la Remarque du chap. V, § 5, n° 5 ; soit $\chi(s^{-1}, x)d\beta(s)d\nu(x)$ cette mesure équivalente. Pour $\varphi \in \mathscr{H}(G)$ et $\psi \in \mathscr{H}(T)$, on a

d'où $\int \psi(sx)d\nu(x) = \int \psi(x)\chi(s^{-1}, x)d\nu(x)$ sauf sur un ensemble localement $\beta$-négligeable $N(\psi)$. Utiliser alors le lemme 1 du chap. VI, § 3, n° 1 ; puis modifier $\chi$ sur un ensemble $(\beta \otimes \nu)$-négligeable).

b) Montrer que, quels que soient $s, t$ dans $G$, on a

sauf sur un ensemble $\nu$-négligeable de valeurs de $x$ (utiliser la relation $\gamma(st)\nu = \gamma(s)(\gamma(t)\nu)$).

c) Montrer que la fonction $\chi$ de a) est déterminée à un ensemble localement $(\beta \otimes \nu)$-négligeable près de $G \times T$.