Bài tập 13, § 1

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương tác động liên tục bên trái trên một không gian Polish compact địa phương $T$, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên $G$, và $\nu$ là một độ đo dương trên $T$ bất biến tựa dưới tác động của $G$. a) Tồn tại một hàm $(s, x) \mapsto \chi(s, x) > 0$ trên $G \times T$, khả tích địa phương đối với $(\beta \otimes \nu)$, sao cho với mọi $s \in G$, hàm $x \mapsto \chi(s^{-1}, x)$ khả tích địa phương đối với $\nu$ và thỏa mãn $\gamma(s)\nu = \chi(s^{-1}, \cdot) \cdot \nu$. (Chứng minh rằng $(s, x) \mapsto (s, sx)$ biến $\beta \otimes \nu$ thành một độ đo tương đương, bằng cách sử dụng tiêu chuẩn 3) của Đl. 2 của Ch. V, §5, No. 5; gọi $\chi(s^{-1}, x)d\beta(s)\, d\nu(x)$ là độ đo tương đương này. Với $\varphi \in \mathscr{H}(G)$ và $\psi \in \mathscr{H}(T)$,

do đó $\int \psi(sx)\, d\nu(x) = \int \psi(x)\chi(s^{-1}, x)\, d\nu(x)$ ngoại trừ trên một tập $N(\psi)$ có $\beta$-độ đo không đáng kể địa phương. Tiếp theo sử dụng Bổ đề 1 của Ch. VI, §3, No. 1; sau đó sửa đổi $\chi$ trên một tập có $(\beta \otimes \nu)$-độ đo không đáng kể.)

b) Chứng minh rằng với mọi $s, t$ trong $G$, ta có

ngoại trừ trên một tập các giá trị của $x$ có $\nu$-độ đo không đáng kể (sử dụng quan hệ $\gamma(st)\nu = \gamma(s)(\gamma(t)\nu)$).

c) Chứng minh rằng hàm $\chi$ trong a) được xác định sai khác một tập con của $G \times T$ có $(\beta \otimes \nu)$-độ đo không đáng kể địa phương.