习题 14, § 1

令$T$为局部紧致空间，$\mathscr{U}$为$T$上的均匀结构，其中存在随行人员$V_0$，使得$V_0(t)$对于所有$t \in T$而言是紧致的（GT，II, §4，Exer.9）。另一方面，令 $\Gamma$ 为 $T$ 同胚的一致等连续群（对于一致的结构 $\mathscr{U}$），这样存在一个 $a \in T$，其轨道在 $\Gamma$ 下是稠密的。证明在 $T$ 上存在$\Gamma$ 下的正测度 $\neq 0$ 不变量，并且该测度在常数因子范围内是唯一的。可以按如下方式进行：

$1^\circ$ 至于不变测度的存在性，遵循No. 2、Th 的方法。 1;首先证明，如果$K$是$T$的紧子集且$U$是$a$的开邻域，则存在元素$\sigma_i \in \Gamma$的有限数使得$K \subset \bigcup_i \sigma_i(U)$。

$2^\circ$对于唯一性，首先观察$\mathscr{U}$的随行元素在$T \times T$的每个同胚$\sigma \times \sigma$下不变，对于$\sigma \in \Gamma$，形式是随行元素$\mathscr{S}$的基本系统。 For every relatively compact set $A \subset T$ and every relatively compact set $B \subset T$ with nonempty interior, let $(A : B)$ be the smallest number of elements of a covering of $A$ by sets of the form $\sigma B$, where $\sigma \in \Gamma$; if $C \subset T$ is a third relatively compact set with nonempty interior, then $(A : C) \leq (A : B)(B : C)$. 设$K$是$T$的紧致子集，$L \supset K$是相对紧致的开环集合，$V \in \mathscr{S}$是$V_0$中包含的对称开环，使得$V(K) \subset L$，$W \in \mathscr{S}$是$V$中包含的对称闭环。 对于每个对称随行$U \in \mathscr{S}$，使得$UW \subset V$和$WU \subset V$，表明，对于$T$在$\Gamma$下不变的每个正测度$\nu$，

(1)

(2)

为此，证明如果$(\sigma_i(U(a)))$是由$(L : U(a))$集合形成的$L$的覆盖，则每$x \in K$属于到形式$\sigma_i(V(a))$的至少$(W(a) : U(a))$集合，并且每$y \in L$ 属于至形式$\sigma_i(W(a))$至多$(V(a) : U(a))$集合（注，如果$y \in \sigma_i(W(a))$，则$\sigma_i(U(a))$包含在$V(x)$中）。

设$\mathscr{F}$是更细比截面过滤器$\mathscr{S}$的超滤器更细；令$A_0$为非空，$T$中相对紧凑的开放集合，以及集合$\lambda_U(A) = (A : U(a))/(A_0 : U(a))$对于每个对称随行人员$U \in \mathscr{S}$和$T$的每个相对紧凑的子集$A$。设 $\lambda(A) = \lim_{\mathscr{F}} \lambda_U(A)$；对于$T$、集合$\lambda'(K) = \inf \lambda(B)$的每个紧凑子集$K$，其中$B$运行超过集合相对紧凑的开放社区$K$。由(1)和(2)推出

由此结论可知，如果$K_1, K_2$是$T$的两个紧的子集，而$L_1 \supset K_1$、$L_2 \supset K_2$是两个相对紧的开集合，则

最后是$\lambda'(K_1)\nu(K_2) = \lambda'(K_2)\nu(K_1)$。