习题 4, § 1

令 T 和 $\mu$ 为 Exer 中定义的局部紧致空间和测度。第 5 章。 IV, §1。

a) 证明$\mu$是有限支撑测度序列的至高，但$\mu^* \neq \mu^*$，且$\mu$未经调节。由此推论，即使集合 A 可数，当其中的符号$\int^*$ 被$\int^*$ 替代时，命题11 就变为假。

b) 对于每个实数$y$，让$f_y$是集合的特征函数减少到T的点$(0, y)$。证明映射$t \mapsto (f_y(t))_{y \in \mathbf{R}}$是$\mu$可测的，但是如果$f = \sup_{y \in \mathbf{R}} f_y$ 然后$\mu^*(f) = +\infty$ 和$\sup_{y \in \mathbf{R}} \mu^*(f_y) = 0$。