习题 11, § 6

记号是 No. 5 的那些； $g$ 是 $I$ 上的局部 $\mu$ 可积数值函数。

a) 为了使$G$成为$I$*进入*$G(I)$的$\lambda$-固有映射，满足以下条件是必要且充分的：$1^\circ$极限$G(a+)$和$G(b-)$存在于$\overline{\mathbf{R}}$； $2^\circ$ 如果 $G(a+) \in G(I)$ 则 $g$ 是 $\mu$ 在区间 $]a, x_0[$ 上可积； $3^\circ$ 如果 $G(b-) \in G(I)$ 则 $g$ 是 $\mu$ 在区间 $]x_0, b[$ 上可积。

b) 假设$\overline{\mathbf{R}}$中存在极限、$G(a+)$和$G(b-)$。证明如果 $f$ 使得 $t \mapsto f(G(t))g(t)$ 对于 $I$ 上的勒贝格测度可积，则对于勒贝格测度，$f$ 在终点为 $G(a+)$ 和 $G(b-)$ 的区间上可积，且公式 (13) 成立。 （约化对于$x_0$是数$a, b$之一的情况；如果，对于例，$x_0 = a$，观察$I$严格递增的序列$(b_n)$趋向于$b$，使得序列$(G(b_n))$是递增或递减；应用第4章IV, §4, No. 3和Lebesgue的定理）。