Bài tập 11, § 6

Các ký hiệu là những ký hiệu của No. 5; $g$ là một hàm số địa phương $\mu$-khả tích trên $I$.

a) Để $G$ là một ánh xạ $\lambda$-thực sự của $I$ vào $G(I)$, điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau được thỏa mãn: $1^\circ$ các giới hạn $G(a+)$ và $G(b-)$ tồn tại trong $\overline{\mathbf{R}}$; $2^\circ$ nếu $G(a+) \in G(I)$ thì $g$ là $\mu$-khả tích trên khoảng $]a, x_0[$; $3^\circ$ nếu $G(b-) \in G(I)$ thì $g$ là $\mu$-khả tích trên khoảng $]x_0, b[$.

b) Giả sử rằng các giới hạn $G(a+)$ và $G(b-)$ tồn tại trong $\overline{\mathbf{R}}$. Chứng minh rằng nếu $f$ là một hàm sao cho $t \mapsto f(G(t))g(t)$ là khả tích đối với độ đo Lebesgue trên $I$, thì $f$ là khả tích trên khoảng có các đầu mút $G(a+)$ và $G(b-)$ đối với độ đo Lebesgue, và công thức (13) đúng. (Rút gọn về trường hợp $x_0$ là một trong các số $a, b$; nếu chẳng hạn $x_0 = a$, nhận thấy rằng tồn tại trong $I$ một dãy tăng ngặt $(b_n)$ dần tới $b$, sao cho dãy $(G(b_n))$ hoặc tăng hoặc giảm; áp dụng Mệnh đề 4 của Ch. IV, §4, No. 3 và định lý Lebesgue).