Exercice 11, § 6

Les notations sont celles du n° 5; g est une fonction numérique localement $\mu$-intégrable dans I.

a) Pour que G soit une application $\lambda$-propre de I dans G(I), il faut et il suffit que les conditions suivantes soient remplies : 1° les limites G(a+) et G(b−) existent dans $\bar{\mathbf{R}}$; 2° si G(a+) $\in$ G(I), g est $\mu$-intégrable dans l’intervalle ]$a, x_0$[; 3° si G(b−) $\in$ G(I), g est $\mu$-intégrable dans l’intervalle ]$x_0 , b$[.

b) On suppose que les limites G(a+) et G(b−) existent dans $\bar{\mathbf{R}}$. Montrer que, si f est telle que $t \mapsto f(G(t))g(t)$ soit intégrable pour la mesure de Lebesgue dans I, alors f est intégrable dans l’intervalle d’extrémités G(a+) et G(b−) pour la mesure de Lebesgue, et on a la formule (13). (Se ramener au cas où $x_0$ est l’un des nombres a, b ; si par exemple $x_0 = a$, remarquer qu’il existe dans I une suite strictement croissante ($b_n$) tendant vers b, telle que la suite (G($b_n$)) soit, ou bien croissante, ou bien décroissante; appliquer la prop. 4 du chap. IV, § 4, n° 3, et le th. de Lebesgue.)