习题 8, § 5

设 T 为完全可分离度量空间，d 为其度量。对于 T 的每个闭子集 F 和每个实数 $a > 0$，用 $x \in T$ 的 $F^a$ 集合表示，使得 $d(x, F) < a$。给定 T 上的两个有界正测度 $\lambda$ 和 $\mu$，用 D($\lambda, \mu$) 表示实数 $a > 0$ 满足集合的下确界，对于每个闭子集 F，不等式$\lambda^\bullet(F) \leq \mu^\bullet(F^a) + a$、$\mu^\bullet(F) \leq \lambda^\bullet(F^a) + a$ T。

a) 证明 D 是 $\mathscr{M}_+^b$ 上的度量，对于 T 的两个点 x 和 y 来说，$D(\varepsilon_x, \varepsilon_y) = d(x, y)$ 使得 $d(x, y) < 1$。

b) 令 f 为 T 到 T 中的 Borel 映射（cf. TG、IX, §6, No. 3 或 GT、IX, §6、Exer. 16）和 $\lambda$ T 上的有界正测度。证明 T 上存在有界正测度 $\mu$，使得对于每个 Borel 都有 $\mu^\bullet(A) = \lambda^\bullet(f^{-1}(A))$ T 的子集 A。令$a > 0$，并令H 为$x \in T$ 的集合，使得$d(x, f(x)) \geq a$；证明 H 是 T 中的 Borel，并且 $D(\lambda, \mu) \leq \sup(a, \lambda(H))$（对于 T 的每个闭子集 F，有 $F \cap (T - H) \subset f^{-1}(F^a)$ 和 $\lambda^\bullet(F) \leq \lambda^\bullet(F \cap (T - H)) + \lambda^\bullet(H)$）。

c) 让$\mu$和$\mu_n$（对于$n \geq 1$）是T上的有界正测度，使得$\lim_{n \to \infty} D(\mu_n, \mu) = 0$。证明序列 $(\mu_n)$ 紧密收敛于 $\mu$（证明对于 T 的每个闭子集 F，$\lim_{n \to \infty} \mu_n^\bullet(T) = \mu^\bullet(T)$ 和 $\mu^\bullet(F) \geq \limsup_{n \to \infty} \mu_n^\bullet(F)$；由此推导出对于每个下半连续函数 $f \geq 0$，$\mu^\bullet(f) \leq \liminf_{n \to \infty} \mu_n^\bullet(f)$ 通过方法引理 3 §2, No. 6）。

d) 相反，证明对于 $\mathscr{M}_+^b$ 中紧密趋向于 $\mu$ 的有界正测度 $\mu_n$ 的每序列，都有$\lim D(\mu_n, \mu) = 0$。可以如下进行：设$\varepsilon > 0$，并令K是T的紧子集，使得$\mu^\bullet(T - K) < \varepsilon$和$\sup_{n} \mu_n^\bullet(T - K) < \varepsilon$； 构造集合的有限族 $(B_i)_{1 \leq i \leq p}$，边界为 $\mu$ 可忽略不计，直径为 $\leq \varepsilon/2$，成对不相交的，其并包含 K (cf. Exer. 1)。令 f 为 T 中 T 的映射，对于集合 $B_1, \ldots, B_p$ 和 $\mathscr{C}(B_1 \cup \cdots \cup B_p)$ 分别为常数，使得 $f(B_i) \subset B_i$ 对于 $1 \leq i \leq p$。对于T的每个Borel 子集 A，定义通过$\pi_n^\bullet(A) = \mu_n^\bullet(f^{-1}(A))$和$\pi^\bullet(A) = \mu^\bullet(f^{-1}(A))$测量$\pi_n$和$\pi$；从 b) 关系 $D(\pi_n, \mu_n) \leq \varepsilon$、$D(\pi, \mu) \leq \varepsilon$ 推出并证明 $\lim_{n \to \infty} D(\pi_n, \pi) = 0$。

e) $\mathscr{M}_+^b$ 上的度量 D 与紧拓扑兼容（观察到 $\mathscr{M}_+^b$ 对于紧拓扑是可度量的）。