Exercice 8, § 5

Soient $T$ un espace métrique complet et de type dénombrable, et $d$ sa distance. Pour toute partie fermée $F$ de $T$ et tout nombre réel $a > 0$, on note $F^a$ l’ensemble des $x \in T$ tels que $d(x, F) < a$. Etant données deux mesures positives bornées $\lambda$ et $\mu$ sur $T$, on note $D(\lambda, \mu)$ la borne inférieure de l’ensemble des nombres réels $a > 0$ satisfaisant aux inégalités $\lambda^*(F) \leq \mu^*(F^a) + a, \mu^*(F) \leq \lambda^*(F^a) + a$ pour toute partie fermée $F$ de $T$. a) Montrer que $D$ est une distance sur $\mathscr{M}_+^b$ et que l’on a $D(\varepsilon_x, \varepsilon_y) = d(x, y)$ pour deux points $x$ et $y$ de $T$ tels que $d(x, y) < 1$. b) Soient $f$ une application borélienne de $T$ dans $T$ (cf. Top. gén., chap. IX, § 6, n° 3) et $\lambda$ une mesure positive bornée sur $T$. Montrer qu’il existe une mesure positive bornée $\mu$ sur $T$ telle que l’on ait $\mu^*(A) = \lambda^*(f^{-1}(A))$ pour toute partie borélienne $A$ de $T$. Soit $a > 0$, et soit $H$ l’ensemble des $x \in T$ tels que $d(x, f(x)) \geq a$; montrer que $H$ est borélien dans $T$ et que l’on a $D(\lambda, \mu) \leq \sup (a, \lambda(H))$ (pour toute partie fermée $F$ de $T$, on a $F \cap (T - H) \subset f^{-1}(F^a)$ et $\lambda^*(F) \leq \lambda^*(F \cap (T - H)) + \lambda^*(H)$). c) Soient $\mu$ et $\mu_n$ (pour $n \geq 1$) des mesures positives bornées sur $T$ telles que $\lim_{n \to \infty} D(\mu_n, \mu) = 0$. Montrer que la suite $(\mu_n)$ converge étroitement vers $\mu$ (montrer qu’on a $\lim_{n \to \infty} \mu_n^*(T) = \mu^*(T)$ et $\mu^*(F) \geq \limsup_{n \to \infty} \mu_n^*(F)$ pour toute partie fermée $F$ de $T$; en déduire $\mu^*(f) \leq \liminf_{n \to \infty} \mu_n^*(f)$ pour toute fonction semi-continue inférieurement $f \geq 0$ par la méthode du lemme 3 du § 2, n° 6). d) Réciproquement, montrer que, pour toute suite de mesures positives bornées $\mu_n$ tendant étroitement vers $\mu$ dans $\mathscr{M}_+^b$, on a $\lim D(\mu_n, \mu) = 0$. On pourra procéder comme suit: soit $\varepsilon > 0$, soit $K$ une partie compacte de $T$ telle que $\mu^*(T - K) < \varepsilon$ et $\sup_n \mu_n^*(T - K) < \varepsilon$; construire une famille finie $(B_i)_{1 \leq i \leq p}$ d’ensembles de frontière $\mu$-négligeable, de diamètre $\leq \varepsilon/2$, deux à deux disjoints, dont la réunion contient $K$ (cf. exerc. 1). Soit $f$ une application de $T$ dans $T$, constante dans chacun des ensembles $B_1, \ldots, B_p$ et $\mathscr{C}(B_1 \cup \ldots \cup B_p)$ et telle que $f(B_i) \subset B_i$ pour $1 \leq i \leq p$. Définir les mesures $\pi_n$ et $\pi$ par $\pi_n^*(A) = \mu_n^*(f^{-1}(A))$ et $\pi^*(A) = \mu^*(f^{-1}(A))$ pour toute partie borélienne $A$ de $T$; déduire de b) les relations $D(\pi_n, \mu_n) \leq \varepsilon$, $D(\pi, \mu) \leq \varepsilon$ et montrer que l’on a $\lim_{n \to \infty} D(\pi_n, \pi) = 0$.

e) La distance D sur $\mathscr{M}_+^b$ est compatible avec la topologie étroite (remarquer que $\mathscr{M}_+^b$ est métrisable pour la topologie étroite).