Bài tập 8, § 5

Cho T là một không gian mêtric đầy đủ tách được, và d là mêtric của nó. Với mọi tập con đóng F của T và mọi số thực $a > 0$, ký hiệu $F^a$ là tập hợp các $x \in T$ sao cho $d(x, F) < a$. Cho hai độ đo dương bị chặn $\lambda$ và $\mu$ trên T, ký hiệu D($\lambda, \mu$) là cận dưới của tập hợp các số thực $a > 0$ thỏa mãn các bất đẳng thức $\lambda^\bullet(F) \leq \mu^\bullet(F^a) + a$, $\mu^\bullet(F) \leq \lambda^\bullet(F^a) + a$ với mọi tập con đóng F của T.

a) Chứng minh rằng D là một mêtric trên $\mathscr{M}_+^b$ và rằng $D(\varepsilon_x, \varepsilon_y) = d(x, y)$ đối với hai điểm x và y của T sao cho $d(x, y) < 1$.

b) Cho f là một ánh xạ Borel từ T vào T (xem TG, IX, §6, No. 3 hoặc GT, IX, §6, Bài tập 16) và $\lambda$ là một độ đo dương bị chặn trên T. Chứng minh rằng tồn tại một độ đo dương bị chặn $\mu$ trên T sao cho $\mu^\bullet(A) = \lambda^\bullet(f^{-1}(A))$ với mọi tập con Borel A của T. Cho $a > 0$, và cho H là tập hợp các $x \in T$ sao cho $d(x, f(x)) \geq a$; chứng minh rằng H là Borel trong T và rằng $D(\lambda, \mu) \leq \sup(a, \lambda(H))$ (với mọi tập con đóng F của T, ta có $F \cap (T - H) \subset f^{-1}(F^a)$ và $\lambda^\bullet(F) \leq \lambda^\bullet(F \cap (T - H)) + \lambda^\bullet(H)$).

c) Cho $\mu$ và $\mu_n$ (với $n \geq 1$) là các độ đo dương bị chặn trên T sao cho $\lim_{n \to \infty} D(\mu_n, \mu) = 0$. Chứng minh rằng dãy $(\mu_n)$ hội tụ chặt đến $\mu$ (chứng minh rằng $\lim_{n \to \infty} \mu_n^\bullet(T) = \mu^\bullet(T)$ và $\mu^\bullet(F) \geq \limsup_{n \to \infty} \mu_n^\bullet(F)$ với mọi tập con đóng F của T; suy ra từ đó rằng $\mu^\bullet(f) \leq \liminf_{n \to \infty} \mu_n^\bullet(f)$ đối với mọi hàm nửa liên tục dưới $f \geq 0$ bằng phương pháp của Bổ đề 3 của §2, No. 6).

d) Ngược lại, chứng minh rằng đối với mọi dãy các độ đo dương bị chặn $\mu_n$ hội tụ chặt đến $\mu$ trong $\mathscr{M}_+^b$, ta có $\lim D(\mu_n, \mu) = 0$. Có thể tiến hành như sau: cho $\varepsilon > 0$, và cho K là một tập con compact của T sao cho $\mu^\bullet(T - K) < \varepsilon$ và $\sup_{n} \mu_n^\bullet(T - K) < \varepsilon$; xây dựng một họ hữu hạn $(B_i)_{1 \leq i \leq p}$ các tập hợp có biên không đáng kể đối với $\mu$, có đường kính $\leq \varepsilon/2$, từng đôi một rời nhau, mà hợp của chúng chứa K (xem Bài tập 1). Cho f là một ánh xạ từ T vào T, hằng trên mỗi tập hợp $B_1, \ldots, B_p$ và $\mathscr{C}(B_1 \cup \cdots \cup B_p)$ và sao cho $f(B_i) \subset B_i$ với $1 \leq i \leq p$. Định nghĩa các độ đo $\pi_n$ và $\pi$ bởi $\pi_n^\bullet(A) = \mu_n^\bullet(f^{-1}(A))$ và $\pi^\bullet(A) = \mu^\bullet(f^{-1}(A))$ với mọi tập con Borel A của T; suy ra từ b) các hệ thức $D(\pi_n, \mu_n) \leq \varepsilon$, $D(\pi, \mu) \leq \varepsilon$ và chứng minh rằng $\lim_{n \to \infty} D(\pi_n, \pi) = 0$.

e) Mêtric D trên $\mathscr{M}_+^b$ tương thích với tôpô chặt (nhận xét rằng $\mathscr{M}_+^b$ là mêtric hóa được đối với tôpô chặt).