习题 8, § 4

设 G 为无穷大处可数的局部紧致群，在波兰局部紧致空间 T 的左侧连续运行。设 $\nu$ 为 T 上的正测度，在 G 下准不变。设 R 为 T 上的 $\nu$ 可测等价关系，与 G 相容的。则存在（第 1 章）。 VI, §3, No. 4，命题 2) 波兰局部紧致空间 B，以及 T 到 B 的 $\nu$ 可测映射 $p$，使得 $R\{x, y\}$ 等价于 $p(x)) = p(y)$。令$\nu'$为$p$下$\nu$的伪像测度，令$b \mapsto \lambda_b$ ($b \in B$)为R对$\nu$的分解。证明对于几乎每个$b \in B$，$\lambda_b$在G下是准不变的。

（令第 13 章 Exer.13 的 $G \times T$ 满足条件上的$\chi$ 为函数） VII, §1。 证明对于每个 $s \in G$，存在 B 的 $\nu'$ 可忽略的子集 N(s) 个，使得 $\chi(s^{-1}, \cdot)$ 对于 $b \notin N(s)$ 是局部 $\lambda_b$ 可积的；为此，观察到对于每个 $\psi \in \mathscr{K}(T)$，函数 $x \mapsto \psi(x)\chi(s^{-1}, x)$ 都是 $\lambda_b$ 可积的，除了 $b$ 属于到 $\nu'$ 可忽略不计的集合 $N(s, \psi)$，并利用第 1 章的引理 1。 VI, §3, No. 1。 如果$b \in N(s)$则为集合$\lambda_{b,s}' = 0$，如果$b \notin N(s)$则为$\lambda_{b,s}' = \chi(s^{-1}, \cdot) \cdot \lambda_b$。 证明映射 $b \mapsto \lambda_{b,s}'$ 是 $\nu'$ 足够的（使用第 1 章的引理 3） VI, §3, No. 1）和$\gamma(s)\beta = \int \lambda_{b,s}'\, d\nu'(b)$。 另一方面证明 $\gamma(s)\beta = \int \gamma(s)\lambda_b\, d\nu'(b)$ 并由此推断，对于每个 $s \in G$，几乎每个 $b$ 都有 $\gamma(s)\lambda_b = \chi(s^{-1}, \cdot) \cdot \lambda_b$，因此对于几乎每个 $b$，几乎每个 $s$ 都有 $\gamma(s)\lambda_b = \chi(s^{-1}, \cdot) \cdot \lambda_b$。 然后使用科。 §4第17号提案2推断，对于几乎每个$b$，$\gamma(s)\lambda_b$等价于所有$s \in G$的$\lambda_b$。） 证明如果 $\nu$ 在 G 下与乘子 $\chi$ 相对不变，那么对于几乎每个 $b$，$\lambda_b$ 与乘子 $\chi$ 相对不变。