Exercice 8, § 4

Soient $G$ un groupe localement compact dénombrable à l’infini opérant continûment à gauche dans un espace localement compact polonais $T$. Soit $\nu$ une mesure positive sur $T$ quasi-invariante par $G$. Soit $R$ une relation d’équivalence $\nu$-mesurable sur $T$, compatible avec $G$. Il existe donc (chap. VI, § 3, no 4, prop. 2) un espace localement compact polonais $B$, et une application $\nu$-mesurable $p$ de $T$ dans $B$, tels que $R(x, y)$ soit équivalente à $p(x) = p(y)$. Soit $\nu'$ une mesure pseudo-image de $\nu$ par $p$, et soit $b \to \lambda_b$ ($b \in B$) une désintégration de $\nu$ par $R$. Montrer que les $\lambda_b$ sont, pour presque tout $b \in B$, quasi-invariantes par $G$.

(Soit $\chi$ une fonction sur $G \times T$ satisfaisant aux conditions de l’exerc. 13 du chap. VII, § 1. Montrer que, pour tout $s \in G$, il existe une partie $\nu'$-négligeable $N(s)$ de $B$ telle que $\chi(s^{-1}, .)$ soit localement $\lambda_b$-intégrable pour $b \notin N(s)$; pour cela, on remarquera que pour tout $\psi \in \mathscr{K}(T)$, la fonction $x \to \psi(x)\chi(s^{-1}, x)$ est $\lambda_b$-intégrable sauf pour $b$ appartenant à un ensemble $\nu'$-négligeable $N(s, \psi)$, et l’on utilisera le lemme 1 du chap. VI, § 3, no 1. Posons $\lambda_{b,s}' = 0$ si $b \in N(s)$ et $\lambda_{b,s}' = \chi(s^{-1}, .) \cdot \lambda_b$ si $b \notin N(s)$. Montrer que l’application $b \to \lambda_{b,s}'$ est $\nu'$-adéquate (on utilisera le lemme 3 du chap. VI, § 3, no 1) et que $\gamma(s)\beta = \int \lambda_{b,s}' d\nu'(b)$. Montrer d’autre part que $\gamma(s)\beta = \int \gamma(s)\lambda_b d\nu'(b)$ et en déduire que, pour tout $s \in G$, on a $\gamma(s)\lambda_b = \chi(s^{-1}, .) \cdot \lambda_b$ pour presque tout $b$, donc que pour presque tout $b$ on a $\gamma(s)\lambda_b = \chi(s^{-1}, .) \cdot \lambda_b$ pour presque tout $s$. Utiliser alors le cor. 2 de la prop. 17 du § 4 pour en déduire que, pour presque tout $b$, $\gamma(s)\lambda_b$ est équivalente à $\lambda_b$ pour tout $s \in G$).

Montrer que si $\nu$ est relativement invariante par $G$ de multiplicateur $\chi$, les $\lambda_b$ sont, pour presque tout $b$, relativement invariantes de multiplicateur $\chi$.