Bài tập 8, § 4

Cho G là một nhóm compact địa phương đếm được tại vô cực, tác động liên tục bên trái trên một không gian compact địa phương Polish T. Cho $\nu$ là một độ đo dương trên T quasi-bất biến dưới G. Cho R là một quan hệ tương đương $\nu$-đo được trên T, tương thích với G. Khi đó tồn tại (Ch. VI, §3, No. 4, Prop. 2) một không gian compact địa phương Polish B, và một ánh xạ $\nu$-đo được $p$ từ T vào B, sao cho $R\{x, y\}$ tương đương với $p(x)) = p(y)$. Cho $\nu'$ là một độ đo ảnh giả của $\nu$ qua $p$, và cho $b \mapsto \lambda_b$ ($b \in B$) là một phân rã của $\nu$ theo R. Chứng minh rằng các $\lambda_b$ là, với hầu hết mọi $b \in B$, quasi-bất biến dưới G.

(Cho $\chi$ là một hàm trên $G \times T$ thỏa mãn các điều kiện của Bài tập 13 của Ch. VII, §1. Chứng minh rằng với mọi $s \in G$, tồn tại một tập con N(s) của B, $\nu'$-bỏ qua, sao cho $\chi(s^{-1}, \cdot)$ là khả tích địa phương theo $\lambda_b$ đối với $b \notin N(s)$; để làm điều này, nhận xét rằng với mọi $\psi \in \mathscr{K}(T)$, hàm $x \mapsto \psi(x)\chi(s^{-1}, x)$ là $\lambda_b$-khả tích trừ các $b$ thuộc một tập hợp $\nu'$-bỏ qua $N(s, \psi)$, và sử dụng Bổ đề 1 của Ch. VI, §3, No. 1. Đặt $\lambda_{b,s}' = 0$ nếu $b \in N(s)$, và $\lambda_{b,s}' = \chi(s^{-1}, \cdot) \cdot \lambda_b$ nếu $b \notin N(s)$. Chứng minh rằng ánh xạ $b \mapsto \lambda_{b,s}'$ là $\nu'$-thích hợp (sử dụng Bổ đề 3 của Ch. VI, §3, No. 1) và rằng $\gamma(s)\beta = \int \lambda_{b,s}'\, d\nu'(b)$. Chứng minh rằng mặt khác $\gamma(s)\beta = \int \gamma(s)\lambda_b\, d\nu'(b)$ và suy ra từ đó rằng, với mọi $s \in G$, ta có $\gamma(s)\lambda_b = \chi(s^{-1}, \cdot) \cdot \lambda_b$ với hầu hết mọi $b$, do đó với hầu hết mọi $b$ ta có $\gamma(s)\lambda_b = \chi(s^{-1}, \cdot) \cdot \lambda_b$ với hầu hết mọi $s$. Sau đó dùng Hệ quả 2 của Mệnh đề 17 của §4 để suy ra rằng, với hầu hết mọi $b$, $\gamma(s)\lambda_b$ tương đương với $\lambda_b$ với mọi $s \in G$.) Chứng minh rằng nếu $\nu$ là bất biến tương đối dưới G với nhân tử $\chi$, thì các $\lambda_b$ là, với hầu hết mọi $b$, bất biến tương đối với nhân tử $\chi$.