习题 4, § 4

Let G be a locally compact 群.对于每个$t \in \mathbf{R}_+^*$，令$\mu_t$为G上的非零的有界正测度。假设映射$t \mapsto \mu_t$对于拓扑$\sigma(\mathscr{M}^1(G), \overline{\mathscr{K}(G)})$是连续的，并且$\mu_{s+t} = \mu_s * \mu_t$（$\mathbf{R}_+^*$中的s，t）。 a) 证明存在数$c \in \mathbf{R}$使得$\| \mu_t \| = \exp(ct)$。 （观察$t \mapsto \| \mu_t \|$是下半连续，而$\| \mu_{s+t} \| = \| \mu_s \| \cdot \| \mu_t \|$。利用命题18。） b) Suppose that $c = 0$.证明 $\mu_t$ 弱收敛为 $t \to 0$ 到 G 的紧致子群的归一化 Haar 测度。（利用 $\mathscr{M}^1(G)$ 的单位球的弱紧致性，并证明对于 $t \mapsto \mu_t$ 的每个弱簇点 $\mu$ 相对于过滤器$\mathbf{R}_+^*$ 中的 0 个邻域，每 $t$ 有 $\mu_t * \mu = \mu_t$，然后$\mu * \mu = \mu$；接下来，应用 Exer 3。）