Exercice 4, § 4

Soit $G$ un groupe localement compact. Pour tout $t \in \mathbf{R}_+^*$, soit $\mu_t$ une mesure bornée positive non nulle sur $G$. On suppose que l’application $t \to \mu_t$ est continue pour la topologie $\sigma(\mathscr{M}^1(G), \mathscr{K}(G))$, et que $\mu_{s+t} = \mu_s * \mu_t$ ($s, t$ dans $\mathbf{R}_+^*$).

a) Montrer qu’il existe un nombre $c \in \mathbf{R}$ tel que $\| \mu_t \| = \exp(ct)$. (Observer que $t \to \| \mu_t \|$ est semi-continue inférieurement et que

Utiliser la prop. 18.)

b) On suppose $c = 0$. Montrer que $\mu_t$ converge faiblement quand $t \to 0$ vers la mesure de Haar normalisée d’un sous-groupe compact de $G$. (Utiliser la compacité faible de la boule unité de $\mathscr{M}^1(G)$, et montrer que pour toute valeur d’adhérence faible $\mu$ de $\mu_t$ suivant le filtre des voisinages de 0 dans $\mathbf{R}_+^*$, on a $\mu_t * \mu = \mu_t$ pour tout $t$, puis $\mu * \mu = \mu$; appliquer ensuite l’exerc. 3.)