Bài tập 4, § 4

Cho G là một nhóm compact địa phương. Với mọi $t \in \mathbf{R}_+^*$, cho $\mu_t$ là một độ đo dương bị chặn khác không trên G. Giả sử rằng ánh xạ $t \mapsto \mu_t$ liên tục đối với tôpô $\sigma(\mathscr{M}^1(G), \overline{\mathscr{K}(G)})$, và rằng $\mu_{s+t} = \mu_s * \mu_t$ (s, t thuộc $\mathbf{R}_+^*$). a) Chứng minh rằng tồn tại một số $c \in \mathbf{R}$ sao cho $\| \mu_t \| = \exp(ct)$. (Nhận xét rằng $t \mapsto \| \mu_t \|$ là nửa liên tục dưới và rằng $\| \mu_{s+t} \| = \| \mu_s \| \cdot \| \mu_t \|$. Hãy sử dụng Mệnh đề 18.) b) Giả sử rằng $c = 0$. Chứng minh rằng $\mu_t$ hội tụ yếu khi $t \to 0$ tới độ đo Haar chuẩn hóa của một nhóm con compact của G. (Hãy sử dụng tính compact yếu của quả cầu đơn vị của $\mathscr{M}^1(G)$, và chứng minh rằng với mọi điểm tụ yếu $\mu$ của $t \mapsto \mu_t$ đối với lọc các lân cận của 0 trong $\mathbf{R}_+^*$, ta có $\mu_t * \mu = \mu_t$ với mọi $t$, rồi $\mu * \mu = \mu$; tiếp theo, áp dụng Bài tập 3.)