习题 20, § 1

设 G 为局部紧致群，$\mu$ G 上的左 Haar 测度，A 和 B 是 G 的两个子集。 a) 假设以下两个条件之一成立： $\alpha)$ A 是 $\mu$ 可积； $\beta)$ $\mu^*(A) < +\infty$ 且 B $\mu$ 可测。

² Régulier，在 Algèbre 装订版中更名为 simplabilible。 ³ 引用的习题中，法文原文的monoïde被译为“半群”；但半群指的是另一个概念（A，I, §2，Exer.11）。

证明，在这两种情况下，函数 $f(s) = \mu^*(sA \cap B)$ 对于$G$ 的右一致结构在$G$ 上一致连续。 （对于 $G$ 中的任意两个子集 $M, N$，其中一个集合

首先考虑$A$紧的情况；利用 Ch. IV, §4, No. 6，周四。 4、证明对于每个$\varepsilon > 0$，在$G$中存在$e$的邻域$U$，使得对于每个$s \in G$和$t \in U$， 然后应用Exer。第 13 章。 IV, §5。如果$B$是$\mu$可测的，$\mu^*(A) < +\infty$且$(A_n)$是$G$包含$A$可积子集的递减序列，使得$\inf (\mu(A_n)) = \mu^*(A)$，则表明 （V，第 1 版，§2, No. 2，引理 1）；⁴ 注另一方面，$\mu(A_n - A_{n+1})$ 趋向于 0，$1/n$。

b) 如果$A^{-1}$是$\mu$可积且$\mu^*(B) < +\infty$，则函数$f$对于$G$的左右一致结构一致连续；此外，还有$\int_G f(s) d\mu(s) = \mu(A^{-1})\mu^*(B)$。 （约化对于$B$可积的情况；然后观察$\mu(sA \cap B) = \mu(A \cap s^{-1}B)$、$\varphi_{sA \cap B} = \varphi_{sA}\varphi_B$和$\varphi_{sA}(t) = \varphi_{tA^{-1}}(s)$。）

c) 从a)推导出，在所考虑的两种情况下，如果$A$和$B$不可忽略，则$AB$和$BA$的内部不为空。 （参见第VIII, §4, No. 6，第 17 条命题。）

d) 在群$G = \mathbf{SL}_2(\mathbf{R})$中，给出紧集$A$的例和$\mu$可测量的集合$B$，使得$f(s) = \mu(sA \cap B)$对于左均匀结构不是一致连续的。 （观察到存在$G$的元素趋向于$e$的序列$(t_n)$和$G$的元素的序列$(s_n)$使得序列$(s_n^{-1}t_n s_n)$趋于到无穷远点。）

e) 在有限外部测量的局部紧致群$G$中给出两个不可测集合$A, B$的例，并且函数$s \mapsto \mu^*(sA \cap B)$不连续（cf.Ch.IV, §4，Exer.8）。