习题 15, § 4

令 G 为局部紧致群，$\beta$ G 上的左 Haar 测度；通过滥用语言，在下文中我们将 $\beta$-可积数值函数与$L^1(G, \beta)$ 中的类进行识别；同样滥用$L^p(G, \beta)$。

a) 令 $A$ 为 Banach 空间 $L^1(G, \beta)$ 的连续自同态，这样，对于每个 $s \in G$，对于所有 $f \in L^1(G, \beta)$ 都有$A(f * \varepsilon_s) = A(f) * \varepsilon_s$。 证明对于每一个函数$g \in \mathscr{K}(G)$，都有$A(f * g) = A(f) * g$（观察$s \mapsto g(s)A(f * \varepsilon_s)$是G的$\beta$可积映射到$L^1(G, \beta)$）； 逆命题。 由此推断，G 上存在且仅有一个有界测度 $\mu$，使得 $A(f) = \mu * f$ 对于所有 $f \in L^1(G, \beta)$，并且$\|A\| = \|\mu\|$。 （根据No. 7第19条的记号，考虑$A(f_V * g)$的极限相对于更细的超滤器更细比$\mathscr{B}$的截面过滤器，利用$\mathscr{M}^1(G)$的单位球的紧凑性为弱拓扑$\sigma(\mathscr{M}^1(G), \overline{\mathscr{K}(G)})$。）

b) 令 $\mu$ 为 G 上的有界测度；直接证明$L^\infty(G, \beta)$的连续自同态$\gamma(\mu): f \mapsto \mu * f$的范数等于$\|\mu\|$。 （约化对于$\mu$有紧支撑并且相对于$|\mu|$有连续的密度的情况。）由此，重新推导出$L^1(G, \beta)$的连续自同态$\gamma(\mu): f \mapsto \mu * f$有范数等于$\|\mu\|$。

c) 假设G是紧的并且$\mu$是正的。证明对于$1 < p < +\infty$，$L^p(G, \beta)$的连续自同态$\gamma(\mu): f \mapsto \mu * f$的范数等于$\| \mu \|$。

d) 对 G 取阶 3 的循环群。在 G 上给出 $\mu$ 的例，使得自同态 $\gamma(\mu)$ 范数 $L^p(G, \beta)$ 严格小于 $1 < p < +\infty$ 的$\| \mu \|$。