Bài tập 15, § 4

Cho G là một nhóm compact địa phương, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên G; do lạm dụng ngôn ngữ, trong phần sau ta đồng nhất các hàm số khả tích theo $\beta$ với các lớp của chúng trong $L^1(G, \beta)$; cũng lạm dụng tương tự đối với $L^p(G, \beta)$.

a) Cho $A$ là một tự đồng cấu liên tục của không gian Banach $L^1(G, \beta)$ sao cho, với mọi $s \in G$, ta có $A(f * \varepsilon_s) = A(f) * \varepsilon_s$ với mọi $f \in L^1(G, \beta)$. Chứng minh rằng với mọi hàm $g \in \mathscr{K}(G)$, khi đó ta có $A(f * g) = A(f) * g$ (nhận xét rằng $s \mapsto g(s)A(f * \varepsilon_s)$ là một ánh xạ khả tích theo $\beta$ từ G vào $L^1(G, \beta)$); đảo lại. Từ đó, suy ra rằng tồn tại duy nhất một độ đo bị chặn $\mu$ trên G sao cho $A(f) = \mu * f$ với mọi $f \in L^1(G, \beta)$, và rằng $\|A\| = \|\mu\|$. (Với các ký hiệu của Mệnh đề 19 của No. 7, xét giới hạn của $A(f_V * g)$ đối với một siêu lọc mịn hơn bộ lọc tiết diện của $\mathscr{B}$, sử dụng tính compact của quả cầu đơn vị của $\mathscr{M}^1(G)$ đối với tôpô yếu $\sigma(\mathscr{M}^1(G), \overline{\mathscr{K}(G)})$.)

b) Cho $\mu$ là một độ đo bị chặn trên G; chứng minh trực tiếp rằng chuẩn của tự đồng cấu liên tục $\gamma(\mu): f \mapsto \mu * f$ của $L^\infty(G, \beta)$ bằng $\|\mu\|$. (Rút gọn về trường hợp $\mu$ có giá compact và có một mật độ liên tục đối với $|\mu|$.) Từ đó, suy ra lại rằng tự đồng cấu liên tục $\gamma(\mu): f \mapsto \mu * f$ của $L^1(G, \beta)$ có chuẩn bằng $\|\mu\|$.

c) Giả sử rằng G là compact và $\mu$ là dương. Chứng minh rằng, với $1 < p < +\infty$, chuẩn của tự đồng cấu liên tục $\gamma(\mu): f \mapsto \mu * f$ của $L^p(G, \beta)$ bằng $\| \mu \|$.

d) Lấy G là nhóm cyclic có cấp 3. Hãy cho một ví dụ về một độ đo $\mu$ trên G sao cho chuẩn của tự đồng cấu $\gamma(\mu)$ của $L^p(G, \beta)$ nhỏ hơn nghiêm ngặt $\| \mu \|$ với $1 < p < +\infty$.