Exercice 15, § 4

Soient G un groupe localement compact, $\beta$ une mesure de Haar à gauche sur G ; par abus de langage, on identifie dans ce qui suit les fonctions numériques $\beta$-intégrables et leurs classes dans $L^1(G, \beta)$; même abus pour les $L^p(G, \beta)$.

a) Soit $A$ un endomorphisme continu de l’espace de Banach $L^1(G, \beta)$ tel que, pour tout $s \in G$, on ait $A(f * \varepsilon_s) = A(f) * \varepsilon_s$ pour tout $f \in L^1(G, \beta)$.

EXERCICES

Montrer que, pour toute fonction $g \in \mathscr{K}(G)$, on a alors $A(f * g) = A(f) * g$ (remarquer que $s \to g(s)A(f * \varepsilon_s)$ est une application $\beta$-intégrable de $G$ dans $L^1(G, \beta)$) ; réciproque. En déduire qu’il existe une mesure bornée et une seule $\mu$ sur $G$ telle que $A(f) = \mu * f$ pour tout $f \in L^1(G, \beta)$, et que $\|A\| = \|\mu\|$. (Avec les notations de la prop. 19 du no 7, considérer la limite de $A(f_V * g)$ suivant un ultrafiltre plus fin que le filtre des sections de $\mathscr{B}$, en utilisant la compacité de la boule unité de $\mathscr{M}^1(G)$ pour la topologie faible $\sigma(\mathscr{M}^1(G), \mathscr{K}(G))$.)

b) Soit $\mu$ une mesure bornée sur $G$; montrer directement que la norme de l’endomorphisme continu $\gamma(\mu): f \to \mu * f$ de $L^\infty(G, \beta)$ est égale à $\|\mu\|$. (Se ramener au cas où $\mu$ est à support compact, et où $\mu$ a une densité continue par rapport à $|\mu|$.) En déduire de nouveau que l’endomorphisme continu $\gamma(\mu): f \to \mu * f$ de $L^1(G, \beta)$ a une norme égale à $\|\mu\|$.

c) On suppose $G$ compact et $\mu$ positive. Montrer que pour $1 < p < +\infty$, la norme de l’endomorphisme continu $\gamma(\mu): f \to \mu * f$ de $L^p(G, \beta)$ est égale à $\|\mu\|$.

d) On prend pour $G$ le groupe cyclique d’ordre 3. Donner un exemple de mesure $\mu$ sur $G$ telle que la norme de l’endomorphisme $\gamma(\mu)$ de $L^p(G, \beta)$ soit strictement inférieure à $\|\mu\|$ pour $1 < p < +\infty$.