习题 12, § 5

如果 $H$（Exer. 11）上正常正测度的支撑并是密集的，则紧凑的石头空间 $H$ 被称为*超张力*。

a) 令$T$为局部紧致空间，$\mu$为$T$的正测度。证明在超张力空间 $H$ 上存在连续实值函数的 Banach 空间 $L^\infty(T, \mu)$ 空间 $\mathscr{C}(H)$ 的同构 $u \mapsto \theta_u$，使得 $\theta_u^+ = \theta_{u^+}$ (cf.提案 14 和第 II, §1，Exer 13）。

b) 令$H$为超强紧致空间，并令$(\mu_\iota)_{\iota \in I}$为$H$上的正常正测度族，使得$\mu_\iota$的支撑并密集于$H$。证明，对于集合在 $H$ 中不稠密，对于所有 $\iota \in I$ 来说，$\mu_\iota$ 可以忽略不计是充分必要的（观察如果 $A$ 是 $\mu_\iota$ 可以忽略不计，那么 $\overline{A}$ 也是如此（Exer. 11 b））。由此推断，在超张力空间中，每个微薄的集合都不是稠密的。

c) 假设与 b) 相同，表明如果 $f$ 是一个数值函数 $\mu_\iota$，对于所有 $\iota \in I$ 可测，则在 $H$ 上存在连续的函数 $g$，使得 $f$ 和 $g$ 重合对无处密集集合的补集（使用 b）和 Exer。 11b))。

d) 令 $H$ 为超张力空间。证明存在非空的开族$(G_\alpha)_{\alpha \in A}$和$H$的闭族子集，成对不相交的，其并$T$稠密于$H$，并且对于每个$\alpha \in A$，存在正态测度$\mu_\alpha$在$G_\alpha$上，支持$G_\alpha$（将Zorn的引理应用于$H$正常积极措施家庭的集合，其支持相互为不相交的，并使用Exer.11a））。令 $\mu$ 为 $T$ 的度量，其限制到每个 $G_\alpha$ 的$\mu_\alpha$（第 III, §2 章，命题 1）。证明映射，对于每个函数$f \in \mathscr{C}(H)$，使其限制到$T$的$L^\infty(T, \mu)$中的对应类，是Banach空间$\mathscr{C}(H)$的同构到$L^\infty(T, \mu)$（使用c）来证明映射是满射的）。