习题 18, § 8

记号与 Exer 中的相同。 17、设$\nu_\iota$为$T_\iota$的正量度，总质量等于1，并设$\nu = \bigotimes_{\iota \in I} \nu_\iota$。

a) 证明如果其中一个度量$\nu_\iota$ 与具有相同指标的度量$\mu_\iota$ 不相容，则$\nu$ 与$\mu$ 不相容。

b) 对于每个$\iota \in I$，写成$\nu_\iota = \mu'_\iota + \mu''_\iota$，其中$\mu'_\iota$有基$\mu_\iota$，$\mu''_\iota$与$\mu_\iota$不相容（§ 5，Th.3）；假设 $\mu'_\iota \neq 0$ 对于所有 $\iota \in I$。证明，为了使$\nu$与$\mu$不相异，$\mu''_\iota = 0$除了可数的指标家庭之外，并且乘积$\mu' = \bigotimes_{\iota \in I} \mu'_\iota$是$\neq 0$与基$\mu$的度量是充分必要的； $\mu'' = \nu - \mu'$ 与 $\mu$ 是陌生的。 （如果$\mu''_\iota \neq 0$对于指标的不可数无穷大，则表明存在数$\alpha$使得$0 < \alpha < 1$并且对于指标$\iota_n$的可数无穷大，有$\mu'_{\iota_n}(T_{\iota_n}) \leq \alpha$；然后证明通过使用a)，$\mu$与$\nu$不相容；使用 Exer 证明命题的第二个部分。 17.)