Bài tập 18, § 8

Các ký hiệu giữ nguyên như trong Bài tập 17, cho $\nu_\iota$ là một độ đo dương trên $T_\iota$, có khối lượng toàn phần bằng 1, và cho $\nu = \bigotimes_{\iota \in I} \nu_\iota$.

a) Chứng minh rằng nếu một trong các độ đo $\nu_\iota$ là xa lạ với độ đo $\mu_\iota$ có cùng chỉ số, thì $\nu$ là xa lạ với $\mu$.

b) Với mọi $\iota \in I$, viết $\nu_\iota = \mu'_\iota + \mu''_\iota$, trong đó $\mu'_\iota$ có cơ sở $\mu_\iota$, và $\mu''_\iota$ là xa lạ với $\mu_\iota$ (§ 5, Định lý 3); giả sử rằng $\mu'_\iota \neq 0$ với mọi $\iota \in I$. Chứng minh rằng, để $\nu$ không là xa lạ với $\mu$, điều kiện cần và đủ là $\mu''_\iota = 0$ trừ một họ đếm được các chỉ số, và tích $\mu' = \bigotimes_{\iota \in I} \mu'_\iota$ là một độ đo $\neq 0$ có cơ sở $\mu$; khi đó $\mu'' = \nu - \mu'$ là xa lạ với $\mu$. (Nếu $\mu''_\iota \neq 0$ với một vô hạn không đếm được các chỉ số, chứng minh rằng tồn tại một số $\alpha$ sao cho $0 < \alpha < 1$ và sao cho, với một vô hạn đếm được các chỉ số $\iota_n$, ta có $\mu'_{\iota_n}(T_{\iota_n}) \leq \alpha$; khi đó chứng minh rằng $\mu$ là xa lạ với $\nu$ bằng cách sử dụng a); chứng minh phần thứ hai của mệnh đề bằng cách sử dụng Bài tập 17.)