Exercice 18, § 8

Les notations étant les mêmes que dans l’exerc. 17, soit $\nu_i$ une mesure positive sur $T_i$, de masse totale égale à 1, et soit $\nu = \bigotimes_{i \in I} \nu_i$.

a) Montrer que, si une des mesures $\nu_i$ est étrangère à la mesure $\mu_i$ de même indice, $\nu$ est étrangère à $\mu$.

b) Pour tout $i \in I$, on pose $\nu_i = \mu'_i + \mu''_i$, où $\mu'_i$ est de base $\mu_i$, et $\mu''_i$ est étrangère à $\mu_i$ (§ 5, th. 3); on suppose que $\mu'_i \neq 0$ pour tout $i \in I$. Montrer que, pour que $\nu$ ne soit pas étrangère à $\mu$, il faut et il suffit que $\mu''_i = 0$ sauf pour une famille dénombrable d’indices, et que le produit $\mu' = \bigotimes_{i \in I} \mu'_i$ soit une mesure $\neq 0$ de base $\mu$; $\mu'' = \nu - \mu'$ est alors étrangère à $\mu$. (Si $\mu''_i \neq 0$ pour une infinité non dénombrable d’indices, montrer qu’il existe un nombre $\alpha$ tel que $0 < \alpha < 1$ et que, pour une infinité dénombrable d’indices $i_n$, on ait $\mu'_{i_n}(T_{i_n}) \leq \alpha$; montrer alors que $\mu$ est étrangère à $\nu$ en utilisant a); démontrer la seconde partie de la proposition en utilisant l’exerc. 17.)