习题 28, § 1

与 Exer 中的假设一样。 27 a)，假设在加法中存在$\mu$可积G-铺路F。

a) 对于在 X、集合 $\widetilde{f}(x) = \sum_{s \in G} f(sx)$ 上定义的每个 $\mu$ 可积数值函数 $f \geq 0$，因此 $\int_F \widetilde{f}(x) d\mu(x) = \int_X f(x) d\mu(x)$（§ 2, No. 10，命题 15）。设$(f_i)_{1 \leq i \leq n}$是函数$\geq 0$、$\mu$可积于X的数值族； $i \neq j$集合

令$c_i = \sup_{x \in X} \widetilde{f}_i(x)$。证明至少存在一个对不同的指标 $(i, j)$ 使得

(5) 参见。 TVS II, §5, No. 2，第 3 条；具有非空内部的闭凸集合在第 1 章第一版中被称为凸体 (corps凸面)。 II Esp。向量。顶部。（§ 3, No. 2，默认 4）。

（使用 Cauchy–Schwarz 不等式从下面绑定和 $\sum_{i \neq j} m_{ij}$。）由此推断，如果 $(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ 是 $\mu$ 可积 G 填充的有限族，并且如果

那么存在不同的指标和$s \in G$使得$\mu(A_i s \cap A_j) > 0$存在对$(i, j)$。

b) 如果$G_0$是有限指标$(G : G_0) = h$的$G$的子群，并且如果$(s_1, \ldots, s_h)$是$G$中$G_0$的右陪集代表的系统，则$F_0 = \bigcup_{1 \leq i \leq h} s_i F$是$G_0$-铺路。

c) 在$X = \mathbf{R}^n$中，令$A$为内部为非空的对称闭凸集合；令$u_i : (x_j) \mapsto \sum_{j=1}^n c_{ij} x_j$为$X$上的$m$线性形式，其中整数系数为$c_{ij}$ ($m < n$)。证明对于每个整数$p \geq 1$和每个数$r \geq 0$使得$\mu(A) r^n \geq 2^n p^m$，存在与0不同的点$x \in rA \cap \mathbf{Z}^n$并且使得$u_i(x) \equiv 0 \pmod{p}$对于$1 \leq i \leq m$（应用Minkowski的定理） (Exer. 27 c)) 到由 $z \in \mathbf{Z}^n$ 形成的 $\mathbf{Z}^n$ 的子群 $G_0$，使得 $u_i(z) \equiv 0 \pmod{p}$ 为 $1 \leq i \leq m$，并利用 b))。特殊情况是 $n = 2, m = 1$ 和 $A$ 由 $|x_1| \leq 1, |x_2| \leq 1$ 定义（*Thue 的定理*）。