习题 4, § 3

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积分, VII, p. 91

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令 K 为非离散交换局部紧域。设 A 为 K 上的有限秩的代数。

a) 令 $T(n, A)$ 为矩阵 $(x_{ij}) \in \mathbf{M}_n(A)$ 的代数，使得 $x_{ij} = 0$ 对应于 $i > j$ 。证明如果 $M = (m_{ij}) \in T(n, A)$ ，那么

N_{T(n, A)/K}(M) = \prod_{i=1}^n N_{A/K}(m_{ii}^{i-n+1}).

（使用引理6。）

b) 设 $T(n, A)^*$ 为 $T(n, A)$ 的可逆元中的群。让 $M = (m_{ij}) \in T(n, A)$ 。证明 $M \in T(n, A)^*$ 当且仅当 $m_{ii}$ 对于所有 $i$ 在 A 中都是可逆的。

c) 证明 $T(n, A)^*$ 上的左 Haar 测度由下式给出

\left( \prod_{i=1}^n \mathrm{mod}\, N_{A/K}(m_{ii})^{i-n-1} \right) \cdot \bigotimes_{i \leq j} d\alpha(m_{ij}),

其中 $\alpha$ 表示 A 的加法群哈尔测度。

d) 证明如果 $N_{A/K} = N_{A^0/K}$ ，那么

\Delta_{T(n,A)^*}((m_{ij})) = \prod_{i=1}^n \operatorname{mod} N_{A/K}(m_{ii})^{2i-n-1}.

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。