Exercice 4, § 3

Intégration, VII

Soit K un corps commutatif localement compact non discret. Soit A une algèbre de rang fini sur K.

a) Soit T(n, A) l’algèbre des matrices $(x_{ij}) \in \mathbf{M}_n(A)$ telles que $x_{ij} = 0$ pour $i > j$ . Montrer que, si $M = (m_{ij}) \in T(n, A)$ , on a

N_{T(n,A)/K}(M) = \prod_{i=1}^n N_{A/K}(m_{ii}^{i-n+1}).

(Utiliser le lemme 6.)

b) Soit T(n, A)* le groupe des éléments inversibles de T(n, A). Soit $M = (m_{ij}) \in T(n, A)$ . Montrer que $M \in T(n, A)^*$ si et seulement si $m_{ii}$ est inversible dans A quel que soit i.

c) Montrer qu’une mesure de Haar à gauche sur T(n, A)* est

\left( \prod_{i=1}^n \operatorname{mod} N_{A/K}(m_{ii})^{i-n-1} \right) \otimes_{i \leq j} d\alpha(m_{ij})

où $\alpha$ désigne une mesure de Haar du groupe additif de A.

d) Montrer que si $N_{A/K} = N_{A^0/K}$ , on a

\Delta_{T(n,A)^*}((m_{ij})) = \prod_{i=1}^n \operatorname{mod} N_{A/K}(m_{ii})^{2i-n-1}

Solution

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