Bài tập 4, § 3

Tích phân, VII, p. 91

Cho K là một trường giao hoán compact địa phương không rời rạc. Cho A là một đại số có hạng hữu hạn trên K.

a) Cho $T(n, A)$ là đại số các ma trận $(x_{ij}) \in \mathbf{M}_n(A)$ sao cho $x_{ij} = 0$ với $i > j$ . Chứng minh rằng nếu $M = (m_{ij}) \in T(n, A)$ , thì

N_{T(n, A)/K}(M) = \prod_{i=1}^n N_{A/K}(m_{ii}^{i-n+1}).

(Dùng Bổ đề 6.)

b) Cho $T(n, A)^*$ là nhóm các phần tử khả nghịch của $T(n, A)$ . Cho $M = (m_{ij}) \in T(n, A)$ . Chứng minh rằng $M \in T(n, A)^*$ khi và chỉ khi $m_{ii}$ là khả nghịch trong A với mọi $i$ .

c) Chứng minh rằng một độ đo Haar trái trên $T(n, A)^*$ được cho bởi

\left( \prod_{i=1}^n \mathrm{mod}\, N_{A/K}(m_{ii})^{i-n-1} \right) \cdot \bigotimes_{i \leq j} d\alpha(m_{ij}),

trong đó $\alpha$ là một độ đo Haar của nhóm cộng tính của A.

d) Chứng minh rằng nếu $N_{A/K} = N_{A^0/K}$ , thì

\Delta_{T(n,A)^*}((m_{ij})) = \prod_{i=1}^n \operatorname{mod} N_{A/K}(m_{ii})^{2i-n-1}.

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.