习题 12, § 3

令$K$为交换域，$E$向量空间超过$K$，$F$为$E$的线性子空间，$E$的$p$典范同态到$E/F$，并且同态$f : E/F \to E$的$A$集合使得$p \circ f$是$E/F$的恒等式同态。

a) 如果$f \in A$ 和$h \in \mathrm{Hom}(E/F, F)$，则$f + h \in A$。证明如果$f, f' \in A$，则存在且仅有一个$h \in \mathrm{Hom}(E/F, F)$使得$f + h = f'$。因此，我们可以将$A$视为仿射空间，其中$\mathrm{Hom}(E/F, F)$是平移的空间。

b) 令$B$为$E$的线性子空间的集合，对$E$中的$F$进行补充。证明 $f \mapsto f(E/F)$ 是 $A$ 的双射到 $B$。因此，我们可以将$B$视为仿射空间，其中$\mathrm{Hom}(E/F, F)$是平移的空间。

c) 证明如果$u$是$E$的自同构使得$u(F) = F$，那么映射$f \mapsto u \circ f$是$A$到$A$的仿射双射。 （选择原点在$A$，并观察映射$h \mapsto u \circ h$是向量空间$\mathrm{Hom}(E/F, F)$的自同构。）由此推导出映射$F' \mapsto u(F')$是双射的仿射$B$ 到$B$。

d) 假设$K = \mathbf{R}$和$\dim E < +\infty$。令$G$为紧凑群，$\rho$为$E$中$G$的连续线性表示，使得$\rho(s)(F) = F$对于所有$s \in G$。证明存在一个 $F' \in B$，使得所有 $s \in G$ 都有 $\rho(s)(F') = F'$。 （利用c）和No. 2的引理2。）使用No. 1的命题1重新获得这个结果。