Bài tập 12, § 3

Cho $K$ là một trường giao hoán, $E$ một không gian vectơ trên $K$, $F$ một không gian con tuyến tính của $E$, $p$ là đồng cấu chính tắc của $E$ lên $E/F$, và $A$ là tập hợp các đồng cấu $f : E/F \to E$ sao cho $p \circ f$ là đồng cấu đồng nhất của $E/F$.

a) Nếu $f \in A$ và $h \in \mathrm{Hom}(E/F, F)$, thì $f + h \in A$. Chứng minh rằng nếu $f, f' \in A$, tồn tại duy nhất một $h \in \mathrm{Hom}(E/F, F)$ sao cho $f + h = f'$. Do đó có thể coi $A$ như một không gian afin mà $\mathrm{Hom}(E/F, F)$ là không gian các phép tịnh tiến.

b) Gọi $B$ là tập hợp các không gian con tuyến tính của $E$ bù với $F$ trong $E$. Chứng minh rằng $f \mapsto f(E/F)$ là một song ánh từ $A$ lên $B$. Do đó có thể coi $B$ như một không gian afin mà $\mathrm{Hom}(E/F, F)$ là không gian các phép tịnh tiến.

c) Chứng minh rằng nếu $u$ là một tự đẳng cấu của $E$ sao cho $u(F) = F$, thì ánh xạ $f \mapsto u \circ f$ là một song ánh afin từ $A$ lên $A$. (Chọn một gốc trong $A$, và nhận xét rằng ánh xạ $h \mapsto u \circ h$ là một tự đẳng cấu của không gian vectơ $\mathrm{Hom}(E/F, F)$.) Từ đó, suy ra rằng ánh xạ $F' \mapsto u(F')$ là một song ánh afin từ $B$ lên $B$.

d) Giả sử rằng $K = \mathbf{R}$ và $\dim E < +\infty$. Cho $G$ là một nhóm compact, và $\rho$ là một biểu diễn tuyến tính liên tục của $G$ trong $E$ sao cho $\rho(s)(F) = F$ với mọi $s \in G$. Chứng minh rằng tồn tại một $F' \in B$ sao cho $\rho(s)(F') = F'$ với mọi $s \in G$. (Sử dụng c) và Bổ đề 2 của No. 2.) Thu được lại kết quả này bằng cách sử dụng Mệnh đề 1 của No. 1.