Exercice 12, § 3

Soient $K$ un corps commutatif, $E$ un $K$-espace vectoriel, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, $p$ l’homomorphisme canonique de $E$ sur $E/F$, $A$ l’ensemble des homomorphismes $f : E/F \to E$ tels que $p \circ f$ soit l’homomorphisme identique de $E/F$.

a) Si $f \in A$ et $h \in \mathrm{Hom}(E/F, F)$, on a $f + h \in A$. Montrer que, si $f, f' \in A$, il existe un $h \in \mathrm{Hom}(E/F, F)$ et un seul tel que $f + h = f'$. On peut donc considérer $A$ comme un espace affine dont $\mathrm{Hom}(E/F, F)$ est l’espace des translations.

b) Soit $B$ l’ensemble des sous-espaces vectoriels de $E$ supplémentaires de $F$ dans $E$. Montrer que $f \to f(E/F)$ est une bijection de $A$ sur $B$. On peut donc considérer $B$ comme un espace affine dont $\mathrm{Hom}(E/F, F)$ est l’espace des translations.

c) Montrer que, si $u$ est un automorphisme de $E$ tel que $u(F) = F$, l’application $f \to u \circ f$ est une bijection affine de $A$ sur $A$. (Choisir une origine dans $A$, et observer que l’application $h \to u \circ h$ est un automorphisme de l’espace vectoriel $\mathrm{Hom}(E/F, F)$). En déduire que l’application $F' \to u(F')$ est une bijection affine de $B$ sur $B$.

d) On suppose $K = \mathbf{R}$ et $\dim E < +\infty$. Soient $G$ un groupe compact et $\rho$ une représentation linéaire continue de $G$ dans $E$ telle que $\rho(s)(F) = F$ pour tout $s \in G$. Montrer qu’il existe un $F' \in B$ tel que $\rho(s)(F') = F'$ pour tout $s \in G$. (Utiliser $c$) et le lemme 2 du n° 2). Retrouver ce résultat en utilisant la prop. 1 du n° 1.