习题 17, § 3

假设 $k$ 是代数闭的。令$\mathfrak{g}$为李代数，$\mathfrak{h}$嘉当子代数，以及$\mathfrak{h}$的中心的A子集。用no. 2中的E表示的Aut($\mathfrak{g}$)的$E_{\mathfrak{g}}$子群表示。证明，如果$s$是Aut($\mathfrak{g}$)的元素使得$sA = A$，则存在$t\in E_{\mathfrak{g}}$使得$t\mathfrak{h}=\mathfrak{h}$和$t|A =$Id$_A$；特别是$ts|A =s|A$。 （令$\mathfrak{a}$为A在$\mathfrak{g}$中的交换子；由于$\mathfrak{h}$和$s\mathfrak{h}$是$\mathfrak{a}$的嘉当子代数，因此存在$\theta \in E_{\mathfrak{a}}$使得$\theta (s\mathfrak{h}) =\mathfrak{h}$；选择$t$由$E_{\mathfrak{g}}$中的元素即扩展$\theta .$）