章 IV、V 和 VI 简介

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对半单（解析或代数）群及其李代数的研究导致了对根系、Coxeter群和Tits系统的考虑。章 IV、V 和 VI 专门用于这些结构。

为了方便读者，我们在下面给出几个例。

I。令 $g$ 为复半单李代数，且 $h$ 为 $g^1$ 的嘉当子代数。 $g$ 的根相对于 $h$ 是 $h$ 上的非零线性形式 $\alpha$ ，因此对于所有 $h \in h$ ，存在 $g$ 的非零元素 $x$ 以及 $[h, x] = \alpha(h)x$ 。这些根形式约化根系 $R$ 在向量空间 $h^*$ 与 $h$ 对偶。给 $R$ 确定 $g$ 直到同构，每个约化根系与这样得到的根系同构。 $g$ 的自同构使 $h$ 稳定， $h^*$ 的定义自同构使 $R$ 不变，以这种方式获得 $R$ 的每个自同构。 $R$ 的 Weyl 群由 $g$ 的内自同构定义的 $h^*$ 的所有自同构组成，使 $h$ 保持稳定；这是 Coxeter 群。

令 $G$ 为与李代数 $g$ 的连通复形李群，并令 $\Gamma$ 为元素 $h$ 的 $G$ 由……组成的子群，使得 $\exp_G(2\pi i h) = 1$ 。令 $R^-$ 为 $h$ 与 $R$ 相反的根系，令 $Q(R^-)$ 为由 $R^-$ 生成的 $h$ 的子群，并令 $P(R^-)$ 为与子群相关联由 $R$ 生成 $h^*$ 的子群 $Q(R)$ （即 $h \in h$ 的集合，使得对于所有 $\lambda \in Q(R)$ ， $\lambda(h)$ 为整数）。然后 $P(R^-) \supset \Gamma \supset Q(R^-)$ 。此外， $G$ 的中心与 $P(R^-)/\Gamma$ 以及 $G$ 的基本群与 $\Gamma/Q(R^-)$ 自然同构。特别是，如果 $G$ 是伴随群，则 $\Gamma$ 等于 $P(R^-)$ ；如果 $G$ 是单连通的，则 $\Gamma$ 等于 $Q(R^-)$ 。最后， $G$ 的有限维线性表示的权是与 $\Gamma$ 相关联的 $h^*$ 的子群的元素。

II。令 $G$ 为半单连接紧实李群，并令 $g$ 为其李代数。令 $T$ 为 $G$ 的最大环面，其中李代数 $t$ ，并令 $X$ 为 $T$ 的特征标的群。令 $R$ 为 $X$ 的非零元素 $\alpha$ 的集合，使得对于所有 $t \in T$ ，存在 $g$ 的非零元素 $x$ ，且 $(\mathrm{Ad}\, t).x = \alpha(t)x$ 。认同 $X$ ，实数有格子向量空间 $V = X \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{R}$ ；那么 $R$ 就是 $V$ 中的约化根系。设 $N$ 为 $G$ 中 $T$ 的归一化器；作用

1 在本简介中，我们自由使用传统的术语以及章IV、V和VI中定义的概念。

N 在 T 定义同构上从群 N/T 到 R 的 Weyl 群。我们有 P(R) ⊃ X ⊃ Q(R)；此外，如果 G 是单连通的，则 X = P(R)，如果 G 约化到单位元素的中心，则 X = Q(R)。

$g$ 的复数李代数 $g_{(C)}$ 是半单， $t_{(C)}$ 是它的嘉当子代数。 There exists a canonical isomorphism from $V_{(C)}$ to the dual of $t_{(C)}$ that transforms R into the root system of $g_{(C)}$ with respect to $t_{(C)}$ .

III。设 G 是交换域 $k$ 上的连通半单代数群。令 T 为 G 分裂的的环面集合 $k$ 的极大元素，并令X 为 T 的特征标群（从 T 到乘法群同态）。我们认同X与真实向量空间 $V = X \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{R}$ 中的格子。 G 的根相对于 T 是 X 的非零元素 $\alpha$ ，因此对于所有 $t \in T$ ，存在 G 的李代数 $g$ 的非零元素 $x$ ，其中 $(\mathrm{Ad}\, t).x = \alpha(t)x$ 。这给出了 V 中的根系 R，它不一定被约简。设 N 为 G 中 T 的归一化器，Z 为 T 的中心化器，并令 $N(k)$ 和 $Z(k)$ 为它们在 $k$ 上的有理点的群。 T 定义同构从 $N(k)/Z(k)$ 到 R 的 Weyl 群上的 $N(k)$ 作用。

令U为G的单能子群的集合的极大元素，在 $k$ 上定义并由Z归一化。放置 $P = Z.U$ 。然后是 $P(k) = Z(k).U(k)$ 和 $P(k) \cap N(k) = Z(k)$ 。而且，存在R的基 $(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ ，使得U中T的权是R对于这个基的正根；如果S表示 $N(k)/Z(k)$ 的元素的集合，即对应，通过上面定义的同构，到与根 $\alpha_i$ 相关的对称性 $s_{\alpha_i} \in W(R)$ ，则四元数 $(G(k), P(k), N(k), S)$ 是山雀系统。

IV。在局部域上的半单代数群的理论中，遇到Tits系统，其Weyl群是根系的仿射Weyl群。对于例，令 $G = \mathbf{SL}(n+1, \mathbf{Q}_p)$ （与 $n \geq 1$ ）。设 B 为矩阵 $(a_{ij}) \in \mathbf{SL}(n+1, \mathbf{Z}_p)$ 的群，使得 $i < j$ 为 $a_{ij} \in p\mathbf{Z}_p$ ，并令 N 为矩阵的 G 由……组成的子群，每一行中只有一个非零元素和列。那么存在 $N/(B \cap N)$ 的子集 S，使得四元数 $(G, B, N, S)$ 是 Tits 系统。群 $W = N/(B \cap N)$ 是型 $A_n$ 的根系的仿射Weyl群；这是一个无限 Coxeter 群。