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历史注记

（括号内的数指本注末尾的参考书目。）

极限和连续性的思想可以追溯到古代，如果不从这个点观点进行系统的研究，不仅是希腊数学家，而且是希腊哲学家，特别是亚里士多德，就不可能写出完整的历史。还有必要通过文艺复兴时期的数学以及微分和积分演算的起源来追踪这些思想的演变。这样的研究，虽然无疑会很有趣，将远远超出这个注的框架。

黎曼应该被视为拓扑的创造者，也是现代数学许多其他分支的创造者。他是第一个尝试制定拓扑空间的概念的人；他构想了这样的空间的自治理论；他定义了不变量（“Betti 数”），这些不变量在拓扑的后期发展中发挥了卓越的部分作用；他是第一个将拓扑应用于数学分析（阿贝尔的积分的周期）的人。但十九世纪上半叶的思潮在多个方面为黎曼铺平了道路。首先，将数学放在坚定的基上的愿望，这是整个十九世纪直至今天许多重要的研究的原因，导致了对概念的正确理解，即数趋于极限的收敛级数和序列 （柯西，阿贝尔）和连续函数（博尔扎诺，柯西）的概念。另一方面，由高斯和阿尔甘提出的几何表示（通过平面的点）复数（或者，正如它们迄今为止被称为“想象的”甚至“不可能的”数），已经为大多数数学家所熟悉；它构成了与我们世纪在希尔伯特研究中采用几何语言空间相同的阶的进步，并且包含了每个能够连续变化的物体的几何表示的可能性的萌芽。无论如何，高斯自然地通过他在几何、非欧几里得几何和曲面基础上的研究得出了这些概念，他似乎已经想到了这种可能性，因为他在定义（独立于阿尔冈和法国数学家）复数的几何表示时使用了字“幅度两倍扩展” （[1]，第 101-103 页和 175-178 页）。

黎曼对代数函数及其积分的研究以及他对几何基础的反思（很大程度上受到他对高斯工作的研究的启发）使他制定了一个研究计划，这正是现代拓扑的研究计划，并开始实现这个计划。对于例，他在阿贝尔的函数 ([2], p. 91) 理论中是这么说的：

“在通过积分精确微分得到的函数的研究中，数学分析位置的一些定理几乎是不可缺少的。 莱布尼茨使用的这个名称，虽然可能在某种意义上有所不同，但应该被称为连续幅度理论的部分，该理论研究这些幅度，不是独立于它们的位置并通过彼此的项进行测量，而是通过抽象所有测量概念并仅考虑它们的位置和包容性的关系。 I 保留到以后进行完全独立于所有测量的调查......”

在他著名的就职演讲“论几何基础的假设”中（[2]，p. 272）：

“......震级的一般概念被扩展了许多倍（*），其中包含作为空间震级的特殊情况，仍然完全未被探索......”（p. 272）

“……量级的概念以元素能够进行不同的决定为前提。根据是否可以通过连续的过渡过程从一个决定过渡到另一个，这些决定形式是连续的或离散的流形：在前一种情况下，这些决定被称为流形的点......” (p. 273)

“...测量由要比较的幅度的叠加组成，因此在阶中进行测量，我们需要某种方法使用一个幅度作为另一个的尺度。 如果没有这一点，我们只能比较两个量级，只有一个量级是另一个量级的部分…… 在形式部分这种独立于测量理论的背景下可以进行的研究，其中幅度被认为不是独立于其位置而存在，也不是可以在测量的项或单位中表达，而是作为流形中的区域。 这样的研究在数学的几个部分中已经变得必要，特别是在多值分析函数理论中......”（p. 274）

(*) 正如续集所示，黎曼所说的子集是任意维数的拓扑空间。

“...在给定流形中的位置确定，只要可能，都可以简化为有限的数数值确定。然而，在流形中，位置的确定不需要有限的数，而是无限的序列甚至连续的流形大小确定。对于例，可能的确定为在给定域上的函数，或者空间图形的可能的形式，给出这个型的流形。” (p. 276)

注在最后一句话中提出了泛函空间研究的第一个想法；黎曼已经在他的论文中表达了同样的想法：“这些函数的总体”，他在与被称为狄利克雷原理的最小问题相关时表示，“形式是一个本身封闭的连通域”（[2]，p. 30）；虽然虽然的表达不完全，但它是证明的萌芽，希尔伯特后来将其赋予狄利克雷的原理，以及函数空间到演算的变体的大多数应用。

正如我们所说，黎曼通过定义“Betti 数”开始执行这个宏伟的程序，首先定义曲面（[2]，第 92-93 页），后来（[2]，第 479-482 页；cf. 也是 [3]）定义任何维数的流形，并将此定义应用于积分理论；为此，也为了该理论自黎曼时代以来的长足发展，我们建议读者参考第级数卷中有关代数拓扑的历史注记至章。

之前可以发展出黎曼所设想的拓扑空间的一般理论，但实数、集合、数、集合、点在直线、平面和空间的理论应该更进一步比黎曼时代更系统地进行了研究。另一方面，此类研究与研究对无理数数的本质（博尔扎诺的半哲学，戴德金的本质数学）以及实变数函数的理论进展有关，其中黎曼本人通过积分的定义和三角函数理论做出了重要贡献级数，du Bois-Reymond、Dini 和 Weierstrass 等人对此做出了贡献；它们是十九世纪下半叶的作品，尤其是康托尔的作品，他是第一个到定义（最初上线，后来在$n$维数的欧氏空间）积累点的概念，关闭集合，开放集合，完善集合，并在上线集合的结构上取得本质成果（cf.历史注记到章IV）。在这种情况下，不仅应该参考 Cantor [4] 的著作，还应该参考他与 Dedekind [5] 的极其有趣的对应，其中可以清楚地表达维度作为拓扑不变量的思想。 Schöenflies 的著作 [6] 中半历史、半系统的形式追溯了该理论后来的进展；到目前为止，最重要的获得是 Borel-Lebesgue 的定理，即欧氏 $n$-空间 $\mathbf{R}^n$ (cf. 章 VI, § 1) 的每个有界闭子集满足公理 $(\mathrm{C''})$这个章的§ 9（定理首先由Borel证明了线上的闭区间和覆盖它的可数开区间族）。

康托尔的想法最初遭到了强烈的反对（cf.历史注记到书I，章I-IV）。无论如何，他的直线和平面上的点集理论很快就被法国和德国的函数论学校（Jordan、Poincaré、Klein、Mittag-Leffler，以及后来的Hadamard、Bore、Baire、Lebesgue 等）利用和传播；每一篇早期的 Borel 论文，特别是包含对该理论的基本阐述（参见例 [7]）。随着这些想法的传播，它们可能应用于集合，而不是点，而是曲线或函数，开始在各个方面被考虑，正如1883年阿斯科利的标题“论各种曲线的极限曲线”的回忆录[8]以及Hadamard在数学家大会上的通信。 1896 年苏黎世 [9]；这一切都与 Volterra 在 1887 年引入“函数线”以及创建“泛函演算”或函数理论密切相关，其中论证是函数（cf.Voltera关于泛函数学分析的书[10]）。另一方面，希尔伯特著名的回忆录[11]，再次继承了黎曼的思想，证明了狄利克雷原理中最小值的存在性，并开创了演算变分中的“直接方法”，清楚地表明了在函数中考虑集合的重要性。 Bolzano-Weierstrass 原理成立，也就是说，其中每个序列都有一个收敛子序列。无论如何，这样的集合开始扮演重要的部分的角色，不仅在变分的演算中，而且在实变量的函数理论中（Ascoli，Arzelà），稍后在复变量的函数理论中（Vitali，Carathéodory，Montel）。最后，对函数方程的研究，特别是 Fredholm 对以他的名字命名的方程的型的解的研究，使得将函数视为参数并将函数的集合视为点的集合变得司空见惯，并且在这种情况下使用几何语言就像在$n$维数的欧氏空间（空间同样难以“直觉”，因此长期以来一直是许多数学家不信任的对象）。特别是希尔伯特在积分方程方面的令人难忘的工作[12]导致了定义以及Erhard Schmidt [14]对希尔伯特空间的几何研究，与欧氏几何完全类比。

与此同时，由于几何基础上的大量工作，公理理论的概念变得越来越重要。希尔伯特的贡献[13]在这里具有特别决定性的影响。在这项工作的过程中，希尔伯特于 1902 年（[13]，p. 180）制定了黎曼意义上的“流形两次延伸”的第一个公理定义，定义，希尔伯特说，它构成了“对数学分析位点进行严格公理处理的基础”。也利用了邻域（在某种意义上受到问题的要求的限制，他将自己限制在其中）。

将公共的抽象为点的集合和函数的集合属性的首次尝试归功于 Fréchet [15] 和 F. Riesz [16]。前者从可数极限的概念开始，并没有成功构造出方便而富有成果的系统公理，但至少他认识到了Bolzano-Weierstrass的原理之间的关系[这只是§ 9的公理(C)，仅限于可数序列] 和 Borel-Lebesgue 定理 [§ 9 的公理 (C'')]；在这方面，他引入了字“紧凑”，尽管在某种意义上与这级数卷中使用的含义有所不同。至于F.里斯，他以积累的点概念（或者更确切地说“派生集合”，这相当于同一件事）作为他的起点点，他的理论又是不完整的，只出现在形式的轮廓中。

今天所理解的一般拓扑始于豪斯多夫（[17]，章7,8,9），他再次采用了邻域的概念（他的意思是这级数卷中的术语被称为“开放邻域”）并从希尔伯特的平面上邻域的公理赋予了他的理论所需的所有精确性和普遍性。他以公理为起点，本质上是（考虑到他的邻域概念与我们的概念之间的差异）§ 1的公理(V_I)、(V_{II})、(V_{III})、(V_{IV})和(H) § 8和章，其中他发展了推论这些公理，仍然是公理理论的模型，抽象但预先适应应用。豪斯多夫的作品自然是从点出发，一般为后来的研究一般拓扑，尤其是莫斯科学校的作品，主要是针对问题的度量化（cf.历史注记到章IX）；这里我们特别回顾 Alexandroff 和 Urysohn 的紧致空间的定义（以“双紧致空间”的名称），以及紧致空间的乘积紧致性的吉洪诺夫的证明 [19]。最后，H. Cartan [20] 引入的滤波器为拓扑带来了一种有价值的工具，可用于各种应用（其中替换具有“Moore-Smith 收敛”[18] 的概念优势）。此外，定理在超滤器上的发展（定理1、§ 6）澄清并简化了理论。

[1]C。 F.高斯，Werke，卷。 2，哥廷根，1863 年。 [2] B. Riemann，《Gesammelte mathematische Werke》，第二版，莱比锡（Teubner），1892 年。 [3] B. Riemann，《Lettere di E. Betti a P. Tardy》，Rend。阿卡德。 Lincei (5) 241 (1915) 第 517-519 页。 [4] G. Cantor，Gesammelte Abhandlungen，柏林（施普林格），1932 年。 [5] G. Cantor 和 R. Dedekind，Briefwechsel，Actualités scientifiques et industrielles，no. 518，巴黎（赫尔曼），1937 年。 [6] A. Schoenflies，Entwicklungen der Mengenlehre und ihrer Anwendungen，部分I，第二版，莱比锡-柏林 (Teubner)，1913 年。 [7] E. Borel，Leçons sur la théorie des fonctions，第二版，巴黎（Gauthier-Villars），1914 年。 [8] G. Ascoli，曲线数据的变化极限，Mem。阿卡德。林采 (3) 18 (1883) p. 521-586。 [9] J. Hadamard，Sur certaines applications possibles de la théorie des ensembles，Verhandl。实习生。数学大会，苏黎世，1898 年，第 201-202 页。 [10]V。 Volterra，泛函理论，伦敦-格拉斯哥（Blackie and Son），1930 年。 [11] D.希尔伯特，Gesammelte Abhandlungen，卷。 3，柏林（施普林格），1935 年，第 10-37 页 [= Jahresbericht des D.M.V., 8 (1900), p. 184，和数学。安，59（1904），p. 161]。 [12] D. Hilbert，Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Integralgleichungen，第二版，莱比锡-柏林 (Teubner)，1924 年。 [13] D. Hilbert，Grundlagen der Geometrie，第 7 版，莱比锡-柏林 (Teubner)，1930 年。

[14] E. Schmidt，《关于 Gleichungen 和 Unendlich vielen Unbekannten》的 Über die Auflösung Linearer，Rend。巴勒莫，25 (1908)，第 53-77 页。 [15] M. Fréchet，Sur quelques 点 du calcul fonctionnel，Rend。巴勒莫，22 (1906)，第 1-74 页。 [16] F. Riesz，Stetigkeitsbegriff und Abstrakte Mengenlehre，Atti del IV 国会实习生。 dei Matem.，博洛尼亚，1908 年，卷。 2，第 18-24 页。 [17] F. Hausdorff，Grundzüge der Mengenlehre，第一版，莱比锡（Veit），1914 年。 [18] E. H. Moore 和 H. L。 Smith，极限的一般理论，Am。日记。数学，44 (1922) 第 102-121 页。 [19] A. Tychonoff，Über die topologische Erweiterung von Räumen，数学。年，102 (1930)，第 514-561 页。 [20] H. Cartan，过滤理论；过滤和超滤，C。 R.阿卡德。科学。巴黎，205 (1937)，第 595-598 页和第 777-779 页。