Ghi chú lịch sử

(Các số trong ngoặc vuông chỉ đến thư mục tài liệu tham khảo ở cuối ghi chú này.)

Các ý niệm về giới hạn và tính liên tục có từ thời cổ đại, và không thể viết một lịch sử đầy đủ về chúng mà không nghiên cứu một cách có hệ thống từ quan điểm này không chỉ các nhà toán học Hy Lạp mà cả các nhà triết học Hy Lạp và đặc biệt là Aristotle. Cũng cần phải lần theo sự tiến hóa của các ý niệm này qua toán học thời Phục hưng và sự khởi đầu của phép tính vi phân và tích phân. Một nghiên cứu như vậy, mặc dù chắc chắn sẽ rất thú vị để tiến hành, sẽ vượt xa khuôn khổ của ghi chú này.

Chính Riemann là người cần được xem như người sáng tạo ra tôpô, cũng như nhiều ngành khác của toán học hiện đại. Ông là người đầu tiên cố gắng xây dựng khái niệm không gian tôpô; ông đã hình thành ý tưởng về một lý thuyết độc lập của các không gian như vậy; ông đã định nghĩa các bất biến ("các số Betti") mà về sau sẽ đóng vai trò nổi bật trong sự phát triển của tôpô; và ông là người đầu tiên áp dụng tôpô vào giải tích (các chu kỳ của các tích phân Abel). Nhưng dòng tư tưởng trong nửa đầu thế kỷ XIX đã chuẩn bị con đường cho Riemann theo nhiều cách. Trước hết, mong muốn đặt toán học trên một nền tảng vững chắc, vốn là nguyên nhân của rất nhiều nghiên cứu quan trọng trong suốt thế kỷ XIX và cho đến ngày nay, đã dẫn đến sự hiểu biết đúng đắn về các khái niệm chuỗi hội tụ và dãy số tiến tới một giới hạn (Cauchy, Abel) cũng như khái niệm hàm liên tục (Bolzano, Cauchy). Mặt khác, biểu diễn hình học (bằng các điểm của một mặt phẳng) của các số phức (hay, như trước đó chúng vẫn được gọi, các số "ảo" hoặc thậm chí "không thể có") do Gauss và Argand đưa ra, đã trở nên quen thuộc với phần lớn các nhà toán học; nó tạo thành một bước tiến cùng cấp với việc sử dụng, trong thế kỷ của chúng ta, ngôn ngữ hình học trong nghiên cứu không gian Hilbert, và chứa mầm mống của khả năng biểu diễn hình học mọi đối tượng có khả năng biến thiên liên tục. Gauss, người vốn tự nhiên được dẫn dắt đến các khái niệm như vậy bởi các nghiên cứu của ông về nền tảng của hình học, hình học phi Euclid và các mặt cong, dường như đã có sẵn trong đầu khả năng này, vì ông sử dụng các từ "độ lớn mở rộng hai lần" khi định nghĩa (độc lập với Argand và các nhà toán học Pháp) biểu diễn hình học của các số phức ([1], tr. 101-103 và 175-178).

Công trình của Riemann về các hàm đại số và các tích phân của chúng, cùng với những suy ngẫm của ông về nền tảng của hình học (phần lớn được gợi cảm hứng bởi việc nghiên cứu công trình của Gauss), đã dẫn ông đến việc xây dựng một chương trình nghiên cứu, chính là chương trình của tôpô hiện đại, và bắt đầu thực hiện chương trình này. Sau đây là, chẳng hạn, điều ông nói trong lý thuyết của mình về các hàm Abel ([2], p. 91):

"Trong nghiên cứu các hàm thu được bằng cách lấy tích phân các vi phân chính xác, một số định lý của giải tích situs hầu như không thể thiếu. Bằng tên gọi này, vốn được Leibnitz sử dụng, mặc dù có lẽ theo một nghĩa hơi khác, nên gọi phần của lý thuyết về các độ lớn liên tục nghiên cứu các độ lớn này, không độc lập với vị trí của chúng và bằng cách đo chúng theo nhau, mà đúng hơn bằng cách trừu tượng hóa mọi ý niệm về phép đo và chỉ xem xét các quan hệ về vị trí và bao hàm của chúng. Tôi dành cho một dịp sau việc nghiên cứu hoàn toàn độc lập với mọi phép đo..."

Và trong bài giảng khai mạc nổi tiếng của ông "Về các giả thuyết làm cơ sở cho Hình học" ([2], p. 272):

"...khái niệm tổng quát về một độ lớn mở rộng nhiều lần (*) chứa trường hợp riêng là độ lớn không gian, vẫn hoàn toàn chưa được khảo sát..." (p. 272)

"...Khái niệm về độ lớn giả thiết rằng một phần tử có khả năng có các xác định khác nhau. Tùy theo việc có thể đi từ một xác định này sang một xác định khác bằng một quá trình chuyển tiếp liên tục hay không, các xác định này tạo thành một đa tạp liên tục hoặc rời rạc: trong trường hợp thứ nhất các xác định được gọi là các điểm của đa tạp..." (p. 273)

"...Phép đo bao gồm sự chồng xếp các độ lớn cần so sánh, do đó để đo ta cần một phương tiện dùng một độ lớn làm thước đo cho một độ lớn khác. Khi không có phương tiện này, ta chỉ có thể so sánh hai độ lớn nếu một độ lớn là một phần của độ lớn kia... Các nghiên cứu có thể được tiến hành trong bối cảnh này tạo thành một phần của lý thuyết về các độ lớn độc lập với lý thuyết đo lường và trong đó các độ lớn được xem xét không phải như tồn tại độc lập với vị trí của chúng cũng không như có thể biểu diễn theo một đơn vị đo lường, mà như các miền trong một đa tạp. Những nghiên cứu như vậy đã trở nên cần thiết trong nhiều phần của toán học, đặc biệt trong lý thuyết các hàm giải tích nhiều giá trị..." (p. 274)

(*) Như phần tiếp theo cho thấy, Riemann dùng cụm từ này để chỉ một tập con của một không gian tôpô có chiều tùy ý.

"... Việc xác định vị trí trong một đa tạp đã cho, khi điều này có thể thực hiện được, có thể quy về một số hữu hạn các xác định số. Tuy nhiên có những đa tạp trong đó việc xác định vị trí đòi hỏi không phải một số hữu hạn mà là một dãy vô hạn hoặc thậm chí một đa tạp liên tục các xác định về độ lớn. Chẳng hạn, các xác định có thể có của một hàm trên một miền đã cho, hoặc các dạng có thể có của một hình không gian, cho các đa tạp thuộc kiểu này." (p. 276)

Trong cụm từ cuối cùng này, hãy lưu ý ý tưởng đầu tiên về việc nghiên cứu các không gian hàm; Riemann đã diễn đạt cùng một ý tưởng trong luận án của mình: "toàn thể các hàm này", ông phát biểu liên quan đến bài toán cực tiểu được biết đến dưới tên nguyên lý Dirichlet, "tạo thành một miền liên thông đóng trong chính nó" ([2], p. 30); điều này, mặc dù được diễn đạt chưa hoàn hảo, tuy nhiên vẫn là mầm mống của chứng minh mà Hilbert sau này sẽ đưa ra cho nguyên lý Dirichlet, và của phần lớn các áp dụng của các không gian hàm vào phép tính biến phân.

Như đã nói, Riemann bắt đầu thực hiện chương trình vĩ đại này bằng cách định nghĩa các "số Betti", trước hết cho một mặt ([2], tr. 92-93) và sau đó ([2], tr. 479-482; xem thêm [3]) cho một đa tạp có chiều bất kỳ, rồi áp dụng định nghĩa này vào lý thuyết các tích phân; về điều này và về sự phát triển đáng kể của lý thuyết này kể từ thời Riemann, chúng tôi dẫn người đọc đến các Ghi chú lịch sử của các chương về tôpô đại số trong loạt tập này.

Trước khi có thể phát triển một lý thuyết tổng quát về các không gian tôpô, như Riemann đã hình dung, cần phải nghiên cứu có hệ thống hơn so với thời Riemann lý thuyết về các số thực, về các tập hợp số, về các tập hợp điểm trên một đường thẳng, trong một mặt phẳng và trong không gian. Mặt khác, những nghiên cứu như vậy có liên quan đến các nghiên cứu về bản chất của các số vô tỉ (mang tính nửa triết học bởi Bolzano và về cơ bản mang tính toán học bởi Dedekind) và đến sự tiến triển trong lý thuyết các hàm của một biến thực, trong đó Riemann đã tự mình có một đóng góp quan trọng bằng định nghĩa của ông về tích phân và lý thuyết của ông về các chuỗi lượng giác, và trong đó du Bois-Reymond, Dini và Weierstrass, cùng những người khác, đã có đóng góp; chúng là công trình của nửa sau thế kỷ XIX, và đặc biệt là công trình của Cantor, người đầu tiên định nghĩa (ban đầu trên đường thẳng, sau đó trong không gian Euclid $n$ chiều) các khái niệm điểm tụ, tập hợp đóng, tập hợp mở, tập hợp hoàn hảo, và thu được các kết quả cốt yếu về cấu trúc của các tập hợp này trên đường thẳng (xem Ghi chú lịch sử cho Chương IV). Trong bối cảnh này, không chỉ các công trình của Cantor [4] cần được tham khảo, mà còn cả sự tương ứng hết sức thú vị của ông với Dedekind [5], nơi ý tưởng về chiều như một bất biến tôpô được biểu đạt một cách rõ ràng. Sự tiến triển sau đó của lý thuyết được trình bày dưới dạng nửa lịch sử, nửa hệ thống trong sách của Schöenflies [6]; thành tựu quan trọng nhất cho đến nay là định lý Borel-Lebesgue, tức là sự kiện rằng mọi tập con đóng bị chặn của không gian Euclid $n$-chiều $\mathbf{R}^n$ (xem Chương VI, § 1) thỏa mãn tiên đề $(\mathrm{C''})$ của § 9 của chương này (định lý này lần đầu tiên được Borel chứng minh cho một khoảng đóng trên đường thẳng và một họ đếm được các khoảng mở phủ nó).

Các ý tưởng của Cantor ban đầu đã gặp phải sự phản đối mạnh mẽ (xem Ghi chú lịch sử cho Quyển I, các Chương I-IV). Dù sao đi nữa, lý thuyết của ông về các tập hợp điểm trên đường thẳng và trong mặt phẳng nhanh chóng được các trường phái Pháp và Đức về lý thuyết hàm sử dụng và phổ biến (Jordan, Poincaré, Klein, Mittag-Leffler, và sau đó Hadamard, Bore, Baire, Lebesgue, v.v.); mỗi công trình khảo luận Borel thời kỳ đầu, đặc biệt, đều chứa một sự trình bày sơ cấp về lý thuyết này (xem chẳng hạn [7]). Khi các ý tưởng này lan rộng, khả năng áp dụng chúng vào các tập hợp, không phải của các điểm mà của các đường cong hoặc các hàm, bắt đầu được xem xét ở nhiều nơi, như được chứng minh bởi nhan đề “Về các đường cong giới hạn của một họ các đường cong” của một hồi ký của Ascoli năm 1883 [8] và một thông báo của Hadamard tại đại hội các nhà toán học ở Zürich năm 1896 [9]; tất cả điều này có liên quan chặt chẽ đến việc Volterra đưa vào các “hàm đường thẳng” năm 1887 và đến việc tạo ra “phép tính phiếm hàm” hoặc lý thuyết các hàm trong đó đối số là một hàm (xem sách của Volterra về giải tích phiếm hàm [10]). Mặt khác, hồi ký nổi tiếng của Hilbert [11], trong đó, tiếp tục lại các ý tưởng của Riemann, ông đã chứng minh sự tồn tại của cực tiểu trong nguyên lý Dirichlet và khai sinh “phương pháp trực tiếp” trong phép tính các biến phân, đã chỉ ra rõ ràng tầm quan trọng của việc xét các tập hợp các hàm trong đó nguyên lý Bolzano-Weierstrass đúng, nghĩa là trong đó mọi dãy đều có một dãy con hội tụ. Trong mọi trường hợp, những tập hợp như vậy bắt đầu đóng một phần quan trọng, không chỉ trong phép tính các biến phân mà còn trong lý thuyết các hàm của một biến thực (Ascoli, Arzelà) và một ít sau đó trong lý thuyết các hàm của một biến phức (Vitali, Carathéodory, Montel). Cuối cùng, việc nghiên cứu các phương trình hàm, và đặc biệt là nghiệm của Fredholm cho kiểu phương trình mang tên ông, đã làm cho việc coi một hàm như một đối số và một tập hợp các hàm như một tập hợp các điểm trở thành điều thông thường, và việc sử dụng ngôn ngữ hình học trong bối cảnh này cũng tự nhiên như trong không gian Euclid $n$ chiều (một không gian mà tương tự cũng thoát khỏi “trực giác” và vì lý do này đã là đối tượng của sự ngờ vực trong một thời gian dài đối với nhiều nhà toán học). Đặc biệt, công trình đáng ghi nhớ của Hilbert về các phương trình tích phân [12] đã dẫn đến định nghĩa và nghiên cứu hình học về không gian Hilbert bởi Erhard Schmidt [14], hoàn toàn tương tự với hình học Euclid.

Trong khi đó, khái niệm về một lý thuyết tiên đề ngày càng có tầm quan trọng hơn, nhờ nhiều công trình về nền tảng của hình học; ở đây các đóng góp của Hilbert [13] có ảnh hưởng đặc biệt quyết định. Trong quá trình của các công trình này, Hilbert đã được dẫn đến việc xây dựng vào năm 1902 ([13], p. 180) định nghĩa tiên đề đầu tiên của “đa tạp mở rộng hai lần” theo nghĩa của Riemann, một định nghĩa mà Hilbert nói là “nền tảng của một xử lý tiên đề nghiêm ngặt của giải tích situs''. Hilbert cũng đã sử dụng các lân cận (theo một nghĩa bị hạn chế bởi các yêu cầu của bài toán mà ông tự giới hạn mình).

Những nỗ lực đầu tiên nhằm trừu tượng hóa cái chung của các tính chất của các tập hợp điểm và các tập hợp hàm là do Fréchet [15] và F. Riesz [16]. Người thứ nhất xuất phát từ khái niệm giới hạn đếm được và đã không thành công trong việc xây dựng một hệ tiên đề thuận tiện và có hiệu quả, nhưng ít nhất ông đã nhận ra mối liên hệ giữa nguyên lý Bolzano-Weierstrass [chính là tiên đề (C) của § 9, hạn chế vào các dãy đếm được] và định lý Borel-Lebesgue [tiên đề (C'') của § 9]; trong mối liên hệ này ông đã đưa vào từ "compact", mặc dù theo một nghĩa hơi khác với nghĩa mà nó được dùng trong chuỗi các tập sách này. Còn về F. Riesz, người lấy làm điểm xuất phát khái niệm điểm tụ (hay đúng hơn là "tập hợp dẫn xuất", điều này tương đương với cùng một điều), thì lý thuyết của ông cũng lại chưa hoàn chỉnh và chỉ xuất hiện dưới dạng phác thảo.

Tôpô đại cương theo cách hiểu ngày nay bắt đầu với Hausdorff ([17], các Chương 7, 8, 9), người lại tiếp tục khái niệm lân cận (mà ông hiểu là cái trong thuật ngữ của chuỗi các tập sách này được gọi là "lân cận mở") và đã chọn từ các tiên đề của Hilbert về các lân cận trong mặt phẳng những tiên đề làm cho lý thuyết của ông có được tất cả độ chính xác và tính tổng quát mong muốn. Các tiên đề mà ông lấy làm điểm xuất phát về cơ bản là (tính đến sự khác biệt giữa khái niệm lân cận của ông và của chúng ta) các tiên đề (V_I), (V_{II}), (V_{III}), (V_{IV}) của § 1 và (H) của § 8, và chương trong đó ông phát triển các hệ quả của các tiên đề này vẫn là một mẫu mực của lý thuyết tiên đề, trừu tượng nhưng được thích nghi trước cho các ứng dụng. Công trình của Hausdorff dĩ nhiên là điểm xuất phát cho các nghiên cứu sau này về tôpô đại cương và đặc biệt cho công trình của trường phái Moskva, vốn phần lớn hướng tới bài toán mêtric hóa (xem Ghi chú lịch sử của Chương IX); ở đây chúng ta đặc biệt nhắc lại định nghĩa các không gian compact (dưới tên "không gian bicompact") của Alexandroff và Urysohn, và chứng minh của Tychonoff về tính compact của các tích của các không gian compact [19]. Cuối cùng, việc đưa vào các lọc của H. Cartan [20] đã mang lại cho tôpô một công cụ quý giá, có thể sử dụng trong mọi loại ứng dụng (trong đó nó thay thế một cách có lợi khái niệm "hội tụ Moore-Smith" [18]). Hơn nữa, sự phát triển của định lý về các siêu lọc (Định lý 1, § 6), đã làm sáng tỏ và đơn giản hóa lý thuyết.

[1] C. F. Gauss, Werke, Tập 2, Göttingen, 1863. [2] B. Riemann, Gesammelte mathematische Werke, lần xuất bản thứ 2, Leipzig (Teubner), 1892. [3] B. Riemann, trong Lettere di E. Betti a P. Tardy, Rend. Accad. Lincei (5) 24¹ (1915) tr. 517-519. [4] G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Berlin (Springer), 1932. [5] G. Cantor và R. Dedekind, Briefwechsel, Actualités scientifiques et industrielles, no. 518, Paris (Hermann), 1937. [6] A. Schoenflies, Entwicklungen der Mengenlehre und ihrer Anwendungen, Phần I, lần xuất bản thứ 2, Leipzig-Berlin (Teubner), 1913. [7] E. Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, lần xuất bản thứ 2, Paris (Gauthier-Villars), 1914. [8] G. Ascoli, Le curvi limiti de una varietà data di curve, Mem. Accad. Lincei (3) 18 (1883) p. 521-586. [9] J. Hadamard, Sur certaines applications possibles de la théorie des ensembles, Verhandl. Intern. Math.-Kongress, Zürich, 1898, tr. 201-202. [10] V. Volterra, Theory of Functionals, London-Glasgow (Blackie and Son), 1930. [11] D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, tập 3, Berlin (Springer), 1935, tr. 10-37 [= Jahresbericht des D.M.V., 8 (1900), p. 184, và Math. Ann., 59 (1904), p. 161]. [12] D. Hilbert, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Integralgleichungen, lần xuất bản thứ 2, Leipzig-Berlin (Teubner), 1924. [13] D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, lần xuất bản thứ 7, Leipzig-Berlin (Teubner), 1930.

[14] E. Schmidt, Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Rend. Palermo, 25 (1908), tr. 53-77. [15] M. Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rend. Palermo, 22 (1906), tr. 1-74. [16] F. Riesz, Stetigkeitsbegriff und abstrakte Mengenlehre, Atti del IV Congresso Intern. dei Matem., Bologna, 1908, tập 2, tr. 18-24. [17] F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, lần xuất bản thứ nhất, Leipzig (Veit), 1914. [18] E. H. Moore và H. L. Smith, A general theory of limits, Am. Journ. of Math., 44 (1922) tr. 102-121. [19] A. Tychonoff, Über die topologische Erweiterung von Räumen, Math. Ann., 102 (1930), tr. 514-561. [20] H. Cartan, Théorie des filtres; filtres et ultrafiltres, C. R. Acad. Sc. Paris, 205 (1937), tr. 595-598 và tr. 777-779.