Cho $(A_i)_{i \in I}$ là một họ các tập con liên thông của $X$, tất cả đều chứa cùng một điểm $x$; ta phải chỉ ra rằng

là liên thông. Nếu không, tồn tại hai tập mở $B$ và $C$ sao cho $B \cap A$ và $C \cap A$ là khác rỗng, và $A \subset B \cup C$ và $A \cap B \cap C = \emptyset$. $x$ thuộc một trong các tập $B, C$, giả sử $x \in B$; mặt khác một trong các tập $A_i$, giả sử $A_x$, gặp $C$; do đó ta có $A_x \subset B \cup C$, $A_x \cap B \cap C = \emptyset$ và $B \cap A_x$ và $C \cap A_x$ là khác rỗng. Vậy $A_x$ không liên thông, điều này mâu thuẫn.

Bằng quy nạp theo $n$ ta thấy ngay lập tức rằng tập hợp $B_n = \bigcup_{i=0}^n A_i$ là liên thông với mọi $n$, theo Mệnh đề 2. Các tập hợp $B_n$ có giao khác rỗng; do đó hợp của chúng, bằng $\bigcup_{n=0}^\infty A_n$, là liên thông theo Mệnh đề 2.

Nếu không, các giao của $B$ với phần trong và phần ngoài của $A$ sẽ là hai tập con mở của $B$ lập thành một phân hoạch của $B$, và $B$ sẽ không liên thông.

Giả sử $f(A)$ không liên thông. Khi đó tồn tại hai tập hợp $M', N'$ mở trong $f^{-1}(A)$ và lập thành một phân hoạch của $f(A)$; do đó $A \cap f^{-1}(M')$ và $A \cap f^{-1}(N')$ là mở trong $A$ và lập thành một phân hoạch của $A$; điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng $A$ liên thông.

Ảnh ngược của một tập hợp liên thông qua một ánh xạ liên tục không nhất thiết là liên thông; xét ví dụ một ánh xạ từ một không gian rời rạc vào một không gian gồm một điểm.

Từ Mệnh đề 4 ta suy ra một đặc trưng hóa khác của các không gian không liên thông:

Điều kiện này là đủ theo Mệnh đề 4. Ngược lại, nếu $X$ không liên thông, tồn tại hai tập con mở rời nhau không rỗng $A, B$ có hợp là $X$, và ánh xạ $f$ từ $X$ lên một không gian rời rạc gồm hai phần tử $\{a, b\}$, được xác định bởi $f(A) = \{a\}$ và $f(B) = \{b\}$, là liên tục.

Đây là một hệ quả ngay lập tức của Mệnh đề 4 của no. 2.

Giả sử $X$ không liên thông. Khi đó có một phân hoạch của $X$ thành hai tập mở $A, B$. Các tập $A, B$ là bão hòa đối với $R$; vì nếu $x \in A$ thì lớp tương đương $M$ của $x$ không thể gặp $B$, nếu không các tập $A \cap M, B \cap M$ sẽ tạo thành một phân hoạch của $M$ thành hai tập mở trong $M$, điều này là không thể vì $M$ liên thông. Các ảnh chính tắc của $A$ và $B$ do đó là các tập mở trong $X/R$ và tạo thành một phân hoạch của $X/R$; điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng $X/R$ liên thông.

Cho $X = \prod_{i \in I} X_i$ là một tích của các không gian tôpô. Nếu các $X_i$ khác rỗng, ta có $X_i = \operatorname{pr}_i X$ với mỗi $i \in I$; do đó nếu $X$ liên thông thì các $X_i$ cũng liên thông (no. 2, Mệnh đề 4). Ngược lại, giả sử rằng mỗi $X_i$ liên thông và $X$ không liên thông. Theo Mệnh đề 5 của no. 2, tồn tại một ánh xạ toàn ánh liên tục $f : X \to X'$, trong đó $X'$ là một không gian rời rạc chứa nhiều hơn một điểm. Cho $a = (a_i)$ là một điểm bất kỳ của $X$, và $x$ là một chỉ số bất kỳ; ánh xạ từng phần $f_x : X_x \to X'$, được xác định bởi $f_x(x) = f((y_i))$ trong đó $y_x = x$ và $y_i = a_i$ nếu $i \neq x$, là liên tục trên $X_x$; vì $X_x$ liên thông, $f_x$ phải là hằng trên $X_x$. Suy ra ngay lập tức bằng quy nạp rằng $f(x) = f(a)$ đối với mọi điểm $x = (x_i)$ sao cho $x_i = a_i$ với mọi chỉ số $i \in I$ trừ một số hữu hạn. Nhưng các điểm $x$ này tạo thành một tập con trù mật của $X$ (§ 4, no. 3, Mệnh đề 8). Do đó $f$ liên tục trên $X$ và hằng trên một tập con trù mật của $X$, và vì vậy hằng trên $X$ (§ 8, no. 1, Mệnh đề 2, Hệ quả 1). Nhưng điều này mâu thuẫn với định nghĩa của $f$.

Phần đầu của mệnh đề là một hệ quả trực tiếp của Định nghĩa 3 và thực tế rằng bao đóng của một tập liên thông thì liên thông (no. 1, Mệnh đề 1). Vì hợp của các tập liên thông có chung một điểm là liên thông (no. 1, Mệnh đề 2), quan hệ $R$ là bắc cầu, do đó là một quan hệ tương đương (vì nó hiển nhiên phản xạ và đối xứng) và lớp tương đương của $x$ theo $R$ chính là thành phần của $x$. Còn lại cần chứng minh rằng $X/R$ là hoàn toàn không liên thông. Gọi $f : X \to X/R$ là ánh xạ chính tắc, và gọi $F$ là một tập đóng trong $X/R$ chứa ít nhất hai điểm phân biệt; ảnh ngược $f^{-1}(F)$ của $F$ là tập đóng trong $X$, bão hòa đối với $R$, và chứa ít nhất hai thành phần phân biệt của $X$ và do đó không liên thông. Vậy tồn tại hai tập đóng không rỗng $B, C$ trong $X$ sao cho $B \cap C = \varnothing$ và $B \cup C = f^{-1}(F)$. Thành phần của mọi điểm $x$ của $f^{-1}(F)$ trong $f^{-1}(F)$ là thành phần của $x$ trong $X$ (theo định nghĩa của $R$) và do đó $B$ và $C$, cả hai đều vừa mở vừa đóng trong $f^{-1}(F)$, đều bão hòa đối với $R$. Do đó $f(B)$ và $f(C)$ là các tập đóng trong $X/R$, và $f(B) \cup f(C) = F$ và $f(B) \cap f(C) = \varnothing$; điều này cho thấy rằng $F$ không liên thông và do đó $X/R$ là hoàn toàn không liên thông.

Tập tích này liên thông (no. 4, Mệnh đề 8). Ngược lại, nếu $A$ là một tập con liên thông của $X$ chứa $x$, thì $\operatorname{pr}_i(A)$ là một tập liên thông (no. 2, Mệnh đề 4) chứa $x$; vì $A \subset \prod_i \operatorname{pr}_i(A)$, suy ra $A$ được chứa trong tích của các thành phần của $x_i$.

Điều kiện ấy là đủ, vì khi đó thành phần của $x$ tương đối với một lân cận mở của $x$ là một lân cận của $x$ trong $X$.

Ngược lại, cho $A$ là một tập con mở của một không gian địa phương liên thông $X$, cho $B$ là một thành phần của $A$, và cho $x \in B$. Cho $V$ là một lân cận liên thông của $x$ được chứa trong $A$; theo định nghĩa của các thành phần, $V$ được chứa trong $B$; do đó $B$ là mở trong $X$ (§ 1, no. 2, Mệnh đề 1).

Các thành phần của một không gian địa phương liên thông $X$ do đó lập thành một phân hoạch của $X$ thành các tập mở, và suy ra $X$ là tổng (§ 2, no. 4, Ví dụ 3) của các thành phần của nó.

Vì $V$ vừa mở vừa đóng trong $U$, nên một điểm biên của $V$ (xét tương đối với $X$) không thể thuộc $U$, bởi vì nó cũng sẽ là một điểm biên của $V$ tương đối với $U$, và không có điểm nào như thế.

Cho $X$ là một không gian liên thông địa phương, $R$ một quan hệ tương đương trên $X$, $\varphi : X \to X/R$ là ánh xạ chính tắc. Cho $A$ là một tập con mở của

X/R và C là một thành phần của A. Khi đó $\overline{\varphi}^1(C)$ là hợp của các thành phần của $\overline{\varphi}^1(A)$; vì nếu $x \in \overline{\varphi}^1(C)$ và nếu K là thành phần của x trong $\overline{\varphi}^1(A)$ thì $\varphi(K)$ liên thông (no. 2, mệnh đề 4), được chứa trong A, và chứa $\varphi(x)$; do đó $\varphi(K) \subset C$ theo định nghĩa của C, và vì thế $K \subset \overline{\varphi}^1(C)$. Vì X là liên thông địa phương và $\overline{\varphi}^1(A)$ là mở trong X, suy ra từ mệnh đề 11 rằng $\overline{\varphi}^1(C)$ là mở trong X; do đó C là mở trong X/R và vì vậy, lại theo mệnh đề 11, X/R là liên thông địa phương.

b) Ngược lại, nếu tích của một họ $(X_i)$ các không gian tôpô không rỗng là liên thông địa phương, thì mỗi $X_i$ đều liên thông địa phương, và $X_i$ liên thông với mọi chỉ số trừ một số hữu hạn.

a) Cho J là tập con hữu hạn của I sao cho $X_i$ không liên thông khi và chỉ khi $i \in J$. Cho

là một tập hợp sơ cấp chứa một điểm $x = (x_i)$ của X và cho K là tập con hữu hạn của I sao cho $U_i \neq X_i$ khi và chỉ khi $i \in K$. Cho $V_i$ bằng $X_i$ với $i \notin J \cup K$, và cho $V_i$ là một lân cận liên thông của $x_i$ nằm trong $U_i$ với $i \in J \cup K$; khi đó liên thông (theo mệnh đề 8 của no. 4) và là một lân cận của $x$ nằm trong U. Vậy X là liên thông địa phương.

b) Cho $a = (a_i)$ là một điểm của X và cho V là một lân cận liên thông của $a$ trong X. Vì ta có $\mathrm{pr}_i V = X_i$ trừ một số hữu hạn chỉ số (§ 4, no. 1) suy ra từ no. 2, mệnh đề 4 rằng các $X_i$ là liên thông, với mọi chỉ số trừ một số hữu hạn. Mặt khác, với mỗi $x \in I$, mỗi $a_x \in X_x$ và mỗi lân cận $V_x$ của $a_x$ trong $X_x$, có một điểm $x$ của X sao cho $\mathrm{pr}_x x = a_x$, và

là một lân cận của $x$ trong X; do đó V chứa một lân cận liên thông W của $x$, có ảnh chiếu $\mathrm{pr}_x W$ là một lân cận liên thông của $a_x$ nằm trong $V_x$ (no. 2, mệnh đề 4 và § 4, no. 2, mệnh đề 5). Vậy mỗi $X_x$ đều liên thông địa phương.

Khi đó không gian $X$ là hợp của một họ đếm được các tập mở, mỗi tập đều được chứa trong một tập của $\mathfrak{B}$.

Cho $\mathfrak{B}$ là một cơ sở đếm được của tôpô của $Y$. Ta sẽ gọi một cặp $(W, U)$ là phân biệt nếu (i) $U \in \mathfrak{B}$ và (ii) $W$ là một thành phần của $\overline{p}^{-1}(U)$ được chứa trong một tập của $\mathfrak{B}$.

Ảnh ngược $\overline{p}^{-1}(p(x))$ là rời rạc và do đó có một lân cận của $x$ trong $X$ mà mọi điểm $x'$ khác $x$ đều có ảnh $p(x') \neq p(x)$; vì $X$ thỏa mãn $(O_{III})$, có một lân cận đóng $V$ của $x$ có tính chất này, và ta cũng có thể giả sử rằng $V$ được chứa trong một tập của $\mathfrak{B}$. Cho $F$ là biên của $V$ trong $X$. Theo điều kiện (i) của định lý, $p(F)$ là đóng trong $Y$; và vì $p(F)$ không chứa $p(x)$, có một tập $U \in \mathfrak{B}$ chứa $p(x)$ và không giao với $p(F)$. Cho $W$ là thành phần của $x$ trong $\overline{p}^{-1}(U)$; khi đó chỉ cần chứng minh rằng $W \subset A$. Nếu không phải như vậy, thì $W$ sẽ giao với $F$ (số 1, Mệnh đề 3) và do đó $p(F)$ sẽ giao với $U$, trái với định nghĩa của $U$.

Vì $\mathfrak{B}$ là đếm được nên chỉ cần chứng minh rằng, cho $U' \in \mathfrak{B}$, tập các cặp phân biệt $(W', U')$ sao cho $W'$ giao với $W$ là đếm được. Các tập $W'$ này đều mở, vì $X$ là liên thông địa phương (no. 6, Mệnh đề 11) và đôi một rời nhau vì chúng là các thành phần của $\overline{p}^{-1}(U')$; do đó các tập $W' \cap W$ đều mở và đôi một rời nhau. Nhưng $W$ chứa một tập con đếm được trù mật trong $W$; vì vậy tập các $W'$ sao cho $W' \cap W$ không rỗng cũng đếm được.

Để chứng minh định lý 1, xét quan hệ R sau đây giữa hai điểm x, x' của X: "Tồn tại một dãy hữu hạn các cặp đặc biệt (W_i, U_i) (1 \leq i \leq n) sao cho x \in W_1 và x' \in W_n và W_i \cap W_{i+1} \neq \emptyset for \leq 1 i \leq n — 1."

Bổ đề 1 cho biết rằng R là phản xạ, và dễ dàng kiểm tra rằng R là đối xứng và bắc cầu, nên R là một quan hệ tương đương; hơn nữa, vì các W_i là mở, mỗi lớp tương đương mod R đều mở trong X. Nhưng X liên thông; do đó chỉ có thể có một lớp tương đương, tức là bất kỳ hai điểm nào của X cũng tương đương mod R. Từ đây ta suy ra rằng X là hợp của một họ đếm được các thành phần thứ nhất của các cặp đặc biệt, và điều này sẽ chứng minh Định lý 1. Để làm điều đó, lấy x là một điểm bất kỳ của X, và định nghĩa bằng quy nạp theo n một dãy (C_n) các tập con mở của X như sau: theo Bổ đề 1, có một cặp đặc biệt (W_1, U_1) sao cho x \in W_1, và ta lấy C_1 = W_1; nếu n > 1 thì C_n được lấy bằng hợp của mọi thành phần thứ nhất W của các cặp đặc biệt (W, U) sao cho W giao với C_{n-1}. Bằng quy nạp theo n, nhờ Bổ đề 2, suy ra ngay rằng C_n là một hợp đếm được các thành phần thứ nhất của các cặp đặc biệt. Cuối cùng, mọi x' \in X đều thuộc một C_n nào đó; thật vậy, tồn tại một dãy hữu hạn

các cặp đặc biệt sao cho x \in W'_1, x' \in W'_m và W'_i \cap W'_{i+1} \neq \emptyset for 1 \leq i \leq m — 1, và bằng quy nạp theo i ta thấy rằng W'_i \subset C_{i+1} đối với mọi i, do đó x' \in C_{m+1}.

Q.E.D.

Trước hết, các giả thiết suy ra rằng X là chính quy (§ 8, no. 4, Mệnh đề 13). Ta hãy chứng minh rằng các điều kiện của Định lý 1 được thỏa mãn nếu ta lấy \mathfrak{B} là tập hợp mọi tập con đóng V của X sao cho hạn chế của p lên V là một đồng phôi của V lên một không gian con đóng của Y. Theo giả thiết, các phần trong của các tập thuộc \mathfrak{B} phủ Y và, nhờ giả thiết về Y, mỗi V \in \mathfrak{B} có một cơ sở đếm được và do đó chứa một tập con đếm được trù mật (§ 1, no. 6, Mệnh đề 6). Hơn nữa, nếu x \in p^{-1}(y), thì có một lân cận V \in \mathfrak{B} của x trong X sao cho V

() \ Có thể chứng minh rằng các điều kiện này suy ra tôpô của Y là mêtric hóa được (Chương IX, § 4, Bài tập 22). \*

chứa không điểm nào của $\overline{p}^{-1}(y)$ ngoài $x$, và do đó $\overline{p}^{-1}(y)$ là một không gian rời rạc. Vì vậy ta có thể áp dụng Định lý 1, điều này cho thấy rằng $X$ là hợp của một họ đếm được $(T_n)_{n \geq 0}$ các tập mở, sao cho mỗi không gian con $T_n$ có một cơ sở đếm được $(U_{mn})_{m \geq 0}$. Khi đó các $U_{mn}$ ($m \geq 0, n \geq 0$) tạo thành một cơ sở của tôpô của $X$ ($§ 3$, no. 1, Nhận xét).

Với mỗi $x \in X$, cho $V_x$ là một lân cận compact của $x$ trong $X$ có một cơ sở đếm được. Suy ra từ $§ 9$, no. 4, Định lý 2, Hệ quả 2, rằng tập hợp $\mathfrak{B}$ gồm các $V_x$ thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1, và ta hoàn tất chứng minh như trong Hệ quả 1.

Lưu ý rằng, trong hệ quả này, có thể xảy ra rằng sự hạn chế của $p$ lên một lân cận $V$ tùy ý nhỏ của một điểm của $X$ không là một đẳng cấu tôpô của $V$ lên $p(V)$.

Rõ ràng $X$ là địa phương liên thông. Cũng vậy, mỗi $x \in X$ có một lân cận mở $U$ trong $X$ sao cho sự hạn chế của $p$ lên $U$ ánh xạ $U$ đẳng cấu tôpô lên một không gian con mở $p(U)$ của $Y$. Vì $p(U)$ là một không gian con compact địa phương của $Y$ ($§ 9$, no. 7, Mệnh đề 13), nên tồn tại một lân cận compact $W$ của $p(x)$ được chứa trong $p(U)$, do đó $U \cap \overline{p}^{-1}(W)$ là một lân cận compact của $x$ được chứa trong $U$; vậy $X$ là địa phương compact, vì theo giả thiết $X$ là Hausdorff. $U \cap \overline{p}^{-1}(W)$, là compact, nên đóng trong $X$ ($§ 9$, no. 3, Mệnh đề 4) và do đó các điều kiện của Hệ quả 1 được thỏa mãn; suy ra tôpô của $X$ có một cơ sở đếm được.