Soit $(A_t)_{t \in I}$ une famille de parties connexes de $X$, contenant toutes un même point $x$, et montrons que $A = \bigcup_{t \in I} A_t$ est connexe. Sinon, il existerait dans $X$ deux ensembles ouverts $B, C$ tels que $B \cap A$ et $C \cap A$ soient non vides, que $A \subset B \cup C$ et que $A \cap B \cap C = \varnothing$. Le point $x$ appartient à l’un des ensembles $B, C$, soit par exemple $x \in B$; d’autre part il existe un indice $k$ tel que $C \cap A_k \neq \varnothing$; on aurait donc $A_k \subset B \cup C, A_k \cap B \cap C = \varnothing$ et $B \cap A_k$ et $C \cap A_k$ seraient non vides, contrairement à l’hypothèse que les $A_t$ sont connexes.

En effet, on voit aussitôt, par récurrence sur $n$, que l’ensemble $B_n = \bigcup_{i=0}^n A_i$ est connexe pour tout $n$, en vertu de la prop. 2; comme les $B_n$ ont une intersection non vide, leur réunion, égale à $\bigcup_{n=0}^\infty A_n$, est connexe en vertu de la prop. 2.

En effet, dans le cas contraire, les intersections de B avec l’intérieur et l’extérieur de A seraient deux ensembles non vides ouverts par rapport à B et formant une partition de B, contrairement à l’hypothèse.

En effet, s’il existait deux ensembles M’, N’ non vides ouverts par rapport à f(A) et formant une partition de f(A), $A \cap f^{-1}(M')$ et $A \cap f^{-1}(N')$ seraient non vides, ouverts relativement à A et formeraient une partition de A, contrairement à l’hypothèse.

L’image réciproque d’un ensemble connexe par une application continue n’est pas nécessairement connexe, comme le montre l’exemple d’une application d’un espace discret dans un espace réduit à un seul point.

On déduit de la prop. 4 une nouvelle caractérisation des espaces non connexes :

La condition est évidemment suffisante (prop. 4). Elle est nécessaire, car si A, B sont deux ensembles ouverts non vides formant une partition de X, l’application f de X sur un espace discret {a, b} à deux éléments telle que $f(A) = \{a\}$ et $f(B) = \{b\}$, est continue dans X.

C’est une conséquence immédiate de la prop. 4.

Raisonnons par l’absurde, et supposons qu’il existe une partition de X en deux ensembles ouverts non vides A, B. Les ensembles A, B sont saturés pour R : en effet, si $x \in A$, la classe M de x suivant R ne peut rencontrer B, sans quoi les ensembles $A \cap M$ et $B \cap M$ formeraient une partition de M en deux ensembles non vides ouverts par rapport à M, ce qui est contraire à l’hypothèse. Les images canoniques de A et B sont alors des ensembles non vides ouverts dans X/R, formant une partition de X/R, ce qui est absurde.

Soit $X = \prod_{i \in I} X_i$ un produit d’espaces topologiques. Si les $X_i$ sont non vides, on a $X_i = \operatorname{pr}_i X$ pour tout $i \in I$, donc si $X$ est connexe il en est de même des $X_i$ (I, p. 82, prop. 4). Inversement, supposons tous les $X_i$ connexes, et $X$ non connexe. En vertu de la prop. 5 (I, p. 82), il existerait alors une application surjective continue $f : X \to X'$, où $X'$ est un espace discret comprenant plus d’un point. Soit $a = (a_i)$ un point quelconque de $X$, $\kappa$ un indice quelconque ; l’application partielle $f_\kappa : X_\kappa \to X'$, définie par $f_\kappa(x) = f((y_i))$ avec $y_\kappa = x$ et $y_i = a_i$ pour $i \neq \kappa$, est continue dans $X_\kappa$; comme $X_\kappa$ est connexe, $f_\kappa$ est constante dans $X_\kappa$. Ce résultat prouve aussitôt par récurrence que $f(x) = f(a)$ pour tout point $x = (x_i)$ tel que $x_i = a_i$ sauf pour un nombre fini d’indices. Mais ces points forment une partie partout dense de $X$ (I, p. 28, prop. 8); comme $f$ est continue dans $X$ et constante dans une partie partout dense de $X$, $f$ est constante dans $X$ (I, p. 53, cor. 1), contrairement à l’hypothèse.

La première partie de la proposition est une conséquence immédiate de la déf. 3 et du fait que l’adhérence d’un ensemble connexe est connexe (I, p. 81, prop. 1). Comme la réunion d’ensembles connexes ayant un point commun est connexe (I, p. 81, prop. 2), la relation $R$ est transitive, donc est une relation d’équivalence (puisqu’elle est évidemment réflexive et symétrique) et la classe de $x$ suivant $R$ est la composante connexe de $x$. Reste à voir que $X/R$ est totalement discontinu. Soit $f$ l’application canonique $X \to X/R$, et soit $F$ un ensemble fermé dans $X/R$ contenant deux points distincts au moins; son image réciproque $\overline{f}(F)$ est fermée dans $X$, saturée pour $R$ et contient au moins deux composantes connexes distinctes de $X$, donc est non connexe. Il existe par suite deux ensembles non vides, $B, C$ fermés dans $X$, tels que $B \cap C = \varnothing$ et $B \cup C = \overline{f}(F)$. Comme la composante connexe $\overline{f}(F)$ d’un point quelconque de cet ensemble est identique à la composante connexe de ce point dans $X$ (par définition de $R$), $B$ et $C$, qui sont à la fois ouverts et fermés $\overline{f}(F)$, sont saturés pour $R$; $f(B)$ et $f(C)$ sont donc fermés dans $X/R$ et l’on a $f(B) \cup f(C) = F$ et $f(B) \cap f(C) = \varnothing$, ce qui prouve que $F$ est non connexe, et par suite que $X/R$ est totalement discontinu.

En effet, cet ensemble produit est connexe (I, p. 83, prop. 8). D’autre part, si une partie connexe $A$ de $X$ contient $x$, $\mathrm{pr}_t(A)$ est un ensemble connexe (I, p. 82, prop. 4) contenant $x_t$; comme $A \subset \prod_t \mathrm{pr}_t(A)$, $A$ est contenu dans le produit des composantes connexes des $x_t$.

La condition est évidemment suffisante, car la composante connexe d’un point x relativement à un voisinage ouvert de x dans X est alors un voisinage de x dans X.

La condition est nécessaire : soient en effet A un ensemble ouvert dans un espace localement connexe X, B une composante connexe de A, x un point de B. Soit V un voisinage connexe de x contenu dans A ; par définition des composantes connexes (I, p. 83, déf. 3), V est contenu dans B, ce qui prouve que B est ouvert dans X (I, p. 2, prop. 1).

Les composantes connexes d’un espace localement connexe X constituent donc une partition de X formée d’ensembles ouverts dans X ; X est donc l’espace somme (I, p. 15, Exemple III) de ses composantes connexes (I, p. 81).

En effet, V est ouvert et fermé dans U en vertu de la remarque précédente ; un point frontière de V relativement à X ne peut donc appartenir à U.

Soient X un espace localement connexe, R une relation d’équivalence dans X, φ l’application canonique X → X/R. Soient A une partie ouverte de X/R, C une composante connexe de A ; montrons que $\overline{\varphi}(C)$ est réunion de composantes connexes de $\overline{\varphi}(A)$. En effet, si $x \in \overline{\varphi}(C)$, et si K est la composante connexe de x par rapport à $\overline{\varphi}(A)$, $\varphi(K)$ est connexe (I, p. 82, prop. 4), contenu dans A, et contient $\varphi(x)$, donc $\varphi(K) \subset C$ par définition, et par suite $K \subset \overline{\varphi}(C)$. Comme X est localement connexe et $\overline{\varphi}(A)$ ouvert dans X, $\overline{\varphi}(C)$ est ouvert dans X (prop. 11) et par suite C est ouvert dans X/R, ce qui démontre la proposition, en vertu de la prop. 11.

b) Réciproquement, si le produit d’une famille $(X_i)$ d’espaces topologiques non vides est localement connexe, tous les $X_i$ sont localement connexes, et ils sont connexes sauf pour un nombre fini d’indices.

a) Soit J la partie finie de I telle que, pour $i \in J$, $X_i$ ne soit pas connexe. Soit $U = \prod_i U_i$ un ensemble élémentaire contenant un point $x = (x_i)$ de X, et soit K la partie finie de I telle que, pour $i \in K, U_i \neq X_i$. Si on prend $V_i = X_i$ pour $i \notin J \cup K$ et $V_i$ égal à un voisinage connexe de $x_i$ contenu dans $U_i$ pour $i \in J \cup K$, $V = \prod_i V_i$ est, en vertu de I, p. 83, prop. 8, un voisinage connexe de $x$ contenu dans $U$, ce qui prouve a).

b) Soit $a = (a_i)$ un point de $X$ et soit $V$ un voisinage connexe de $a$ dans $X$; comme on a $\mathrm{pr}_i V = X_i$ sauf pour un nombre fini d’indices (I, p. 24), il résulte de I, p. 82, prop. 4 que les $X_i$ sont connexes sauf pour un nombre fini d’indices. D’autre part, pour tout $\kappa \in I$, tout $a_\kappa \in X_\kappa$ et tout voisinage $V_\kappa$ de $a_\kappa$ dans $X_\kappa$, il existe un $x \in X$ tel que $\mathrm{pr}_\kappa x = a_\kappa$ et $V = V_\kappa \times \prod_{i \neq \kappa} X_i$ est un voisinage de $x$; donc $V$ contient un voisinage connexe $W$ de $x$, dont la projection $\mathrm{pr}_\kappa W$ est un voisinage connexe de $a_\kappa$ contenu dans $V_\kappa$ (I, p. 82, prop. 4 et I, p. 26, prop. 5), ce qui montre que $X_\kappa$ est localement connexe.

Soit $\mathfrak{B}$ une base dénombrable de la topologie de $Y$. Nous dirons qu’un couple $(W, U)$ est un couple distingué si: 1° $U \in \mathfrak{B}$; 2° $W$ est une composante connexe de $p^{-1}(U)$ contenue dans un ensemble de $\mathfrak{V}$.

En effet, l’image réciproque $p(p(x))$ étant discrète, il existe dans $X$ un voisinage de $x$ dont tous les points $x' \neq x$ ont une image $p(x') \neq p(x)$; comme $X$ vérifie $(\mathbf{O}_{III})$, il existe un voisinage fermé $V$ de $x$ ayant la même propriété, et on peut évidemment supposer en outre que $V$ est contenu dans un ensemble de $\mathfrak{V}$.

Soit $F$ la frontière de $V$ dans $X$; en vertu de la condition 1° de l’énoncé, $p(F)$ est fermé dans $Y$ et comme $p(F)$ ne contient pas $p(x)$, il existe un ensemble $U \in \mathfrak{B}$ qui contient $p(x)$ et ne rencontre pas $p(F)$. Soit alors $W$ la composante connexe de $p^{-1}(U)$ qui contient $x$; il suffit de prouver que l’on a $W \subset V$; dans le cas contraire, $W$ rencontrerait $F$ (I, p. 81, prop. 3) et par suite $p(F)$ rencontrerait $U$, contrairement à la définition de $U$.

En effet, $\mathfrak{B}$ étant dénombrable, il suffit de prouver que, pour un $U' \in \mathfrak{B}$ donné, l’ensemble des couples distingués (W', U') tels que W' rencontre W est dénombrable. Or, ces ensembles W' sont ouverts, puisque X est localement connexe (I, p. 85, prop. 11) et deux à deux disjoints, par définition des composantes connexes de $p^{-1}(U')$; il en est de même des ensembles $W' \cap W$; mais comme W contient un ensemble dénombrable dense dans W, l’ensemble des W' tels que $W' \cap W$ soit non vide est nécessairement dénombrable.

Ces lemmes étant établis, considérons dans X la relation suivante R entre deux points x, x':

« il existe une suite finie de couples distingués $(W_i, U_i)$ $(1 \leq i \leq n)$ tels que $x \in W_1,\ x' \in W_n$ et $W_i \cap W_{i+1} \neq \emptyset$ pour $1 \leq i \leq n - 1$. »

La relation R est réflexive en vertu du lemme 1, et on vérifie aussitôt qu’elle est symétrique et transitive; en outre, il résulte de la définition de R et du fait que les $W_i$ sont ouverts, que toute classe d’équivalence suivant R est un ensemble ouvert; comme X est connexe, deux points quelconques de X sont donc équivalents mod. R (I, p. 80). Nous allons en déduire que X est réunion d’une famille dénombrable de premiers éléments de couples distingués, ce qui achèvera de démontrer le th. 1. Or, soit x un point de X; définissons par récurrence sur n une suite $(C_n)$ d’ensembles ouverts dans X, de la façon suivante: en vertu du lemme 1, il existe un couple distingué $(W_1, U_1)$ tel que $x \in W_1$; on prendra $C_1 = W_1$; puis, pour $n > 1$, $C_n$ sera la réunion de tous les premiers éléments W des couples distingués $(W, U)$ tels que W rencontre $C_{n-1}$. On prouve aussitôt, par récurrence sur n, et en appliquant le lemme 2, que $C_n$ est réunion dénombrable de premiers éléments de couples distingués. Montrons enfin que tout point $x' \in X$ appartient à l’un des $C_n$: il existe en effet une suite finie $(W'_i, U'_i)_{1 \leq i \leq m}$ de couples distingués tels que $x \in W'_1,\ x' \in W'_m$ et $W'_i \cap W'_{i+1} \neq \emptyset$ pour $1 \leq i \leq m - 1$; par récurrence sur i, on voit que $W'_i \subset C_{i+1}$ pour tout i, et par suite $x' \in C_{m+1}$.

C.Q.F.D.

Les hypothèses entraînent en premier lieu que X est régulier (I, p. 57, prop. 13). Montrons en outre que les hypothèses du th. 1 sont vérifiées en prenant pour $\mathfrak{B}$ l’ensemble des parties fermées V de X, telles que la restriction de $p$ à V soit un

1 On peut montrer que ces conditions entraînent que la topologie de Y est métrisable (IX, §4, exerc. 29).

homéomorphisme de $V$ sur un sous-espace fermé de $Y$. Par hypothèse, les intérieurs des ensembles de $\mathfrak{V}$ recouvrent $X$ et, en vertu de l’hypothèse sur $Y$, tout $V \in \mathfrak{V}$ possède une base dénombrable, donc contient une partie dénombrable partout dense (I, p. 8, prop. 6). Reste enfin à voir que pour tout $y \in Y$, le sous-espace $p^{-1}(y)$ de $X$ est discret: or, par hypothèse, pour tout $x \in p^{-1}(y)$, il existe un voisinage $V \in \mathfrak{V}$ de $x$ dans $X$ tel que $V$ ne contienne aucun point de $p(y)$ distinct de $x$, d’où notre assertion. Le th.1 montre donc que $X$ est réunion d’une famille dénombrable $(T_n)_{n \geq 0}$ d’ensembles ouverts, chacun des sous-espaces $T_n$ ayant une base dénombrable $(U_{mn})_{m \geq 0}$. Alors les $U_{mn}$ ($m \geq 0, n \geq 0$) forment une base de la topologie de $X$ (I, p. 19, Remarque).

Pour tout $x \in X$, soit $V_x$ un voisinage compact de $x$ dans $X$ admettant une base dénombrable; il résulte de I, p. 63, cor. 2, que l’ensemble $\mathfrak{V}$ des $V_x$ vérifie les conditions du th. 1 ; on conclut comme dans le cor. 1.

On notera que, dans ce corollaire, il peut se faire que la restriction de $p$ à un voisinage arbitrairement petit $V$ d’un point de $X$ ne soit pas un homéomorphisme de $V$ sur $p(V)$.

Il est évident que $X$ est localement connexe; d’autre part, tout point $x \in X$ possède un voisinage ouvert $U$ dans $X$, tel que la restriction de $p$ à $U$ soit un homéomorphisme de $U$ sur un sous-espace ouvert $p(U)$ de $Y$. Comme $p(U)$ est un sous-espace localement compact de $Y$ (I, p. 66, prop. 13), il existe un voisinage compact $W$ de $p(x)$ contenu dans $p(U)$ et $U \cap p^{-1}(W)$ est donc un voisinage compact de $x$ contenu dans $U$. Comme $X$ est séparé, il est donc localement compact; en outre $U \cap p^{-1}(W)$, étant compact, est fermé dans $X$ (I, p. 62, prop. 4) et les hypothèses du cor. 1 sont par suite satisfaites; donc la topologie de $X$ admet une base dénombrable.

Exercices