Ta vừa thấy rằng a) suy ra b). Vì quan hệ tương đương $f(x) = f(x')$ là quan hệ đẳng thức, không gian thương của $X$ đối với quan hệ này có thể được đồng nhất với $X$; do đó b) suy ra c) theo § 5, no. 2, Mệnh đề 3. Cuối cùng, nếu c) được thỏa mãn thì $f \times \iota_Z$ là một đồng phôi của $X \times Z$ lên một không gian con đóng của $Y \times Z$ và do đó là một ánh xạ đóng; vì vậy c) suy ra a).

a) Nếu $f$ là thực sự thì $f_T$ cũng thực sự. b) Cho $(T(i))_{i \in I}$ là một họ các tập con của $Y$ mà các phần trong của chúng phủ $Y$, hoặc là một phủ đóng hữu hạn địa phương của $Y$; khi đó nếu mỗi ánh xạ $f_{T(i)}$ là thực sự thì $f$ cũng thực sự.

Cho $Z$ là một không gian tôpô. Nếu $T$ là một tập con bất kỳ của $Y$, ta có

nếu $f$ là thực sự, thì $f \times \iota_Z$ là đóng, do đó $(f \times \iota_Z)_{T \times Z}$ cũng vậy [§ 5, no. 1, Mệnh đề 2 a)], do đó a) được chứng minh. Nếu bây giờ $(T(i))_{i \in I}$ thỏa mãn một trong hai điều kiện đã nêu trong b), thì phủ $(T(i) \times Z)_{i \in I}$ của $Y \times Z$ có cùng tính chất đó; nếu $f_{T(i)}$ là thực sự thì các ánh xạ là đóng, do đó $f \times \iota_Z$ là đóng [§ 5, no. 1, Mệnh đề 2 b)]. Điều này hoàn thành chứng minh.

(Trong no. 2, Định lý 1, Hệ quả 3, ta sẽ thấy rằng mệnh đề này mở rộng đến các tích vô hạn.)

Bằng quy nạp, chỉ cần xét trường hợp $I = \{1, 2\}$. a) Giả sử rằng $f_1, f_2$ là thực sự, và cho $Z$ là một không gian tôpô; $f_1 \times f_2 \times \iota_Z$ là hợp thành của $\iota_{Y_1} \times f_2 \times \iota_Z$ và

hai ánh xạ này là đóng theo giả thiết, do đó $f_1 \times f_2 \times \iota_Z$ cũng là đóng [§ 5, no. 1, Mệnh đề 1 a)], do đó $f_1 \times f_2$ là thực sự.

b) Bây giờ giả sử $f$ là thực sự. Cho $F$ là một tập con đóng của $X_2 \times Z$ và cho $G$ là ảnh của $F$ trong $Y_2 \times Z$ theo ánh xạ $f_2 \times \iota_Z$. Khi đó ảnh của $X_1 \times F$ trong $Y_1 \times Y_2 \times Z$ theo $f_1 \times f_2 \times \iota_Z$ là $f_1(X_1) \times G$. Theo giả thiết, tập này là đóng trong $Y_1 \times Y_2 \times Z$; nếu $X_1 \neq \emptyset$, thì $f_1(X_1)$ không rỗng, điều này suy ra rằng $G$ là đóng trong $Y_2 \times Z$ (§ 4, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 7); do đó $f_2$ là thực sự. Tương tự $f_1$ là thực sự nếu $X_2 \neq \emptyset$.

Cho $Z$ là một không gian tôpô. Ta có

nếu $f$ và $g$ là thực sự, thì $f \times \iota_Z$ và $g \times \iota_Z$ là đóng; do đó [§ 5, no. 1, Mệnh đề 1 a)] $(g \circ f) \times \iota_Z$ là đóng; điều này chứng minh a). Chứng minh của b) [tương ứng c)] được tiến hành theo cùng các bước, sử dụng phần b) [tương ứng c)] của Mệnh đề 1 của § 5, no. 1, và nhận xét rằng nếu $f$ là toàn ánh (tương ứng nếu $g$ là đơn ánh) thì $f \times \iota_Z$ là toàn ánh (tương ứng $g \times \iota_Z$ là đơn ánh). Cuối cùng, để chứng minh d), xét biểu đồ giao hoán

trong đó $\varphi(x) = (x, f(x))$ và $\psi(x') = (g(x'), x')$. Ánh xạ $\varphi$ (tương ứng $\psi$) là một đồng phôi của $X$ (tương ứng $X'$) lên đồ thị của $f$ (tương ứng ảnh phản xạ của đồ thị của $g$) (§ 4, no. 1, Mệnh đề 1, Hệ quả 2). Hơn nữa, vì $X'$ là Hausdorff, đồ thị $\varphi(X)$ của $f$ là đóng trong $X \times X'$ (§ 8, no. 1, Mệnh đề 2, Hệ quả 2). Do đó (Mệnh đề 2) $\varphi$ là thực sự; mặt khác Mệnh đề 4 chỉ ra rằng $(g \circ f) \times i_{X'}$ là thực sự. Theo a) ở trên và tính giao hoán của biểu đồ (1), $\psi \circ f$ là thực sự; nhưng $\psi$ là đơn ánh và do đó $f$ là thực sự theo c) ở trên.

Vì hạn chế này là hợp thành $f \circ j$, trong đó $j : F \to X$ là đơn ánh chính tắc, và là thực sự theo Mệnh đề 2.

Theo Mệnh đề 5 c), ta chỉ cần xét trường hợp $f(X) = Y$. Khi đó đường chéo của $Y \times Y$ là ảnh qua $f \times f$ của đường chéo của $X$, vốn đóng (§ 8, no. 1, Mệnh đề 1); $f \times f$ là thực sự (Mệnh đề 4); do đó đường chéo của $Y \times Y$ là đóng (Mệnh đề 1) và vì vậy $Y$ là Hausdorff (§ 8, no. 1, Mệnh đề 1).

Ánh xạ này là hợp thành của ánh xạ tích $(x_i) \mapsto (f_i(x_i))$ của $X^I$ vào $\prod_i Y_i$ và ánh xạ đường chéo của $X$ vào $X^I$; vì ánh xạ sau là thực sự (theo Mệnh đề 2 và § 8, no. 1, Mệnh đề 1) nên kết luận suy ra từ Mệnh đề 4 và Mệnh đề 5 a).

Các điều kiện là đủ theo Mệnh đề 5 a) và Mệnh đề 2. Ngược lại, nếu $f$ là thực sự, thì $f$ là đóng; do đó $f(X)$ là đóng trong $Y$ và $h$ là một phép đồng phôi ($§ 5$, no. 2, Mệnh đề 3); đồng thời $h \circ p$ là thực sự theo Mệnh đề 5 c); do đó $p = h^{-1} \circ (h \circ p)$ là thực sự theo Mệnh đề 5 a).

(Ta sẽ thấy sau đây một chút (Định lý 1, Hệ quả 1) rằng tính chất này đặc trưng hóa các không gian quasi-compact.)

Chúng ta có thể tự hạn chế vào trường hợp $X$ không rỗng. Cho $\mathfrak{F}$ là một lọc trên $X$, và $X' = X \cup \{ \omega \}$ là không gian tôpô liên kết với $\mathfrak{F}$ ($§ 6$, no. 5, Ví dụ). Gọi $\Delta$ là tập con của $X \times X'$ gồm tất cả các $(x, x)$ trong đó $x \in X$, và gọi $F = \overline{\Delta}$ là bao đóng của $\Delta$ trong $X \times X'$. Theo giả thiết về $X$, ảnh của $F$ qua phép chiếu $X \times X' \to X'$ là đóng trong $X'$; ảnh này chứa $X$ và do đó chứa $\omega$, là điểm thuộc bao đóng của $X$; nói cách khác, tồn tại một điểm $x \in X$ sao cho $(x, \omega) \in F$. Theo định nghĩa của tôpô của $X \times X'$, điều này có nghĩa là, với mỗi lân cận $V$ của $x$ trong $X$ và mỗi $M \in \mathfrak{F}$, ta có $(V \times M) \cap \Delta \neq \emptyset$, tức là $V \cap M \neq \emptyset$, do đó $x$ là một điểm tụ của lọc $\mathfrak{F}$, và vì vậy $X$ là quasi-compact.

Q.E.D.

a) $\Longrightarrow$ b): Nếu $f$ là thực sự thì $f$ là đóng (no. 1, Mệnh đề 1) và với mỗi $y \in Y$ ánh xạ $f_{|y|} : \overline{f}^{-1}(y) \to \{ y \}$ là thực sự [no. 1, Mệnh đề 3a)]. Theo Bổ đề 1, điều này suy ra rằng $\overline{f}^{-1}(y)$ là quasi-compact.

b) $\Longrightarrow$ c): Giả sử $\mathfrak{F}$ và $y$ thỏa mãn các giả thiết của c). Gọi $\mathfrak{B}$ là cơ sở lọc trên $X$ được tạo bởi các bao đóng của các tập hợp thuộc $\mathfrak{F}$. Vì $f$ là đóng, ta có $f(\overline{M}) = f(M)$ với mỗi $M \in \mathfrak{F}$ (§ 5, no. 4, Mệnh đề 9). Điều này cho thấy các tập hợp $\overline{M} \cap \overline{f}^{-1}(y)$ là không rỗng với mọi $M \in \mathfrak{F}$, và do đó tạo thành một cơ sở lọc trên $\overline{f}^{-1}(y)$ mà các phần tử của nó là các tập con đóng của $\overline{f}^{-1}(y)$. Vì $\overline{f}^{-1}(y)$ là quasi-compact, tồn tại một điểm $x \in \overline{f}^{-1}(y)$ thuộc tất cả các tập hợp $M$ khi $M$ chạy qua $\mathfrak{F}$. Do đó $f(x) = y$ và $x$ là một điểm tụ của $\mathfrak{F}$.

c) $\Longrightarrow$ d): Tầm thường.

d) $\Longrightarrow$ a): Trước hết, ta chứng minh rằng nếu d) được thỏa mãn thì $f$ là một ánh xạ đóng. Cho $A$ là một tập con đóng khác rỗng của $X$ và cho $\mathfrak{F}$ là bộ lọc gồm các tập con của $X$ chứa $A$. Khi đó $A$ là tập hợp các điểm tụ của $\mathfrak{F}$. Cho $B$ là tập hợp các điểm tụ của cơ sở lọc $f(\mathfrak{F})$ trên $Y$; $B$ là đóng và rõ ràng chứa $f(A)$; ta sẽ chứng minh rằng $B = f(A)$. Cho $y \in B$ và cho $\mathfrak{B}$ là bộ lọc lân cận của $y$ trong $Y$; theo giả thiết, mọi tập hợp của $\mathfrak{W} = \overline{f}^{-1}(\mathfrak{B})$ đều gặp mọi tập hợp của $\mathfrak{F}$; do đó $\mathfrak{W}$ là một cơ sở lọc trên $X$ và tồn tại một siêu lọc $U$ trên $X$ mịn hơn cả $\mathfrak{F}$ lẫn bộ lọc có cơ sở là $\mathfrak{W}$ (§ 6, no. 2, Mệnh đề 1, Hệ quả 1 và no. 4, Định lý 1). Siêu lọc có cơ sở là $f(U)$ mịn hơn $\mathfrak{B}$ và do đó hội tụ về $y$. Theo d), tồn tại một điểm $x \in X$ sao cho $f(x) = y$ và $U$ hội tụ về $x$; vì $U$ mịn hơn $\mathfrak{F}$, $x$ là một điểm tụ của $\mathfrak{F}$; do đó $x \in A$. Điều này chứng tỏ rằng $B = f(A)$ và do đó $f$ là đóng.

Để hoàn tất chứng minh, ta phải chỉ ra rằng $f \times \iota_Z$ là đóng với mọi không gian tôpô $Z$. Từ những gì đã chứng minh, chỉ cần chỉ ra rằng nếu $f$ thỏa mãn điều kiện d), thì $f \times \iota_Z$ cũng vậy. Đây là một hệ quả của bổ đề tổng quát sau:

Cho $U$ là một siêu lọc trên $X = \prod_i X_i$, và cho $y = (y_i)$ là một điểm của $Y = \prod_i Y_i$ sao cho $f(U)$ hội tụ về $y$. Điều này có nghĩa là mỗi cơ sở siêu lọc $\operatorname{pr}_i(f(U)) = f_i(\operatorname{pr}_i(U))$ đều hội tụ về $y_i$ (§ 7, no. 6, Mệnh đề 10, Hệ quả 1). Theo điều kiện d), với mỗi $i \in I$ tồn tại $x_i \in X_i$ sao cho $f_i(x_i) = y_i$ và $\operatorname{pr}_i(U)$ hội tụ về $x_i$; nhưng khi đó $U$ hội tụ về $x = (x_i)$ (chỗ đã dẫn) và ta có $f(x) = y$. Điều này hoàn tất chứng minh Bổ đề 2 và do đó cả Định lý 1.

Áp dụng a) $\iff$ b) cho $X \to P$.

Hợp thành $X \xrightarrow{f} Y \to P$ là thực sự theo Hệ quả 1; do đó $f$ là thực sự theo no. 1, Mệnh đề 5 d). Ngoài ra, ta có thể áp dụng tiêu chuẩn b) của Định lý 1, sử dụng § 9, no. 4, Định lý 2, Hệ quả 2.

Theo Định lý 1, đây chính là Bổ đề 2 ở trên.

Nếu áp dụng hệ quả này cho họ các ánh xạ $X_i \to P$ và sử dụng Hệ quả 1, ta được định lý Tychonoff (§ 9, no 5, Định lý 3).

Chứng minh giống như trong trường hợp một họ hữu hạn (no. 1, Mệnh đề 5, Hệ quả 3), sử dụng Hệ quả 3 ở trên và sự kiện đường chéo của $X^1$ là đóng (§ 8, no. 1, Mệnh đề 1).

Vì ta có thể đồng nhất $Y$ với $P \times Y$ và $\mathrm{pr}_2$ với tích của $X \to P$ và $\iota_Y$, cả hai đều là các ánh xạ thực sự.

Theo Mệnh đề 3 của no. 1, ánh xạ $f_K : \overline{f}^{-1}(K) \to K$ là thực sự. Vì $K \to P$ là một ánh xạ thực sự (Định lý 1, Hệ quả 1), theo no. 1, Mệnh đề 5 a), suy ra hợp thành $\overline{f}^{-1}(K) \xrightarrow{f_K} K \to P$ là thực sự, do đó $\overline{f}^{-1}(K)$ là quasi-compact theo Định lý 1, Hệ quả 1.

Nếu f là thực sự và K là một tập con compact của Y, thì $\overline{f}^{-1}(K)$ là compact theo Mệnh đề 6 của no. 2. Ngược lại, nếu điều kiện này được thỏa mãn, cho $(\mathbf{U}_\alpha)$ là một phủ của Y bởi các tập mở tương đối compact. Khi đó các tập $\overline{f}^{-1}(\overline{\mathbf{U}}_\alpha)$ là compact trong X và phần trong của chúng phủ X; vì X là Hausdorff, điều này cho thấy X là địa phương compact. Hơn nữa, mỗi ánh xạ $f_{\overline{\mathbf{U}}_\alpha} : \overline{f}^{-1}(\alpha \overline{\mathbf{U}}) \to \overline{\mathbf{U}}_\alpha$ là thực sự (no. 2, Định lý 1, Hệ quả 2) và do đó f là thực sự theo Mệnh đề 3 b) của no. 1.

Theo Mệnh đề 7, f là thực sự khi và chỉ khi, với mỗi tập con compact K' của X', $\overline{f}^{-1}(X' - K') = X - \overline{f}^{-1}(K')$ là phần bù của một tập con compact của X; theo định nghĩa các lân cận của $\omega$ (t.ư. $\omega'$) trong Y (t.ư. Y') điều này xảy ra khi và chỉ khi $\overline{f}$ liên tục tại $\omega$.

a) $C$ là đóng trong $X \times X$.

b) $R$ là đóng.

c) $f$ là thực sự.

d) $X/R$ là Hausdorff.

$R$ đóng khi và chỉ khi $f$ đóng; do đó b) suy ra c) theo Định lý 1b) của no. 2. Việc c) suy ra d) là một trường hợp riêng của no. 1, Mệnh đề 5, Hệ quả 2. d) suy ra a) đối với mọi không gian tôpô $X$ ($\S$ 8, no. 3, Mệnh đề 8). Còn phải chứng minh rằng a) suy ra b). Nếu $F$ là một tập con đóng của $X$ thì bão hòa của nó (đối với $R$) là $\mathrm{pr}_2(C \cap (F \times X))$; theo giả thiết, $C \cap (F \times X)$ là một tập con đóng của không gian compact $X \times X$, và do đó là compact ($\S$ 9, no. 3, Mệnh đề 3); kết quả nay suy ra từ tính liên tục của $\mathrm{pr}_2$ ($\S$ 9, no. 4, Định lý 2, Hệ quả 2).

Cuối cùng, hiển nhiên rằng nếu $X/R$ là Hausdorff thì nó là compact ($\S$ 9, no. 4, Định lý 2).

a) $f$ là thực sự.

b) Bão hòa của mỗi tập con compact của $X$ đối với $R$ là compact.

c) $R'$ đóng.

d) Hạn chế của $\mathrm{pr}_2$ lên $C$ là thực sự.

e) $R$ đóng và các lớp tương đương đối với $R$ là compact.

Hơn nữa, nếu các điều kiện này được thỏa mãn thì $X/R$ là địa phương compact.

a) $\Longrightarrow$ b): Vì $X/R = f(X)$ và $f$ là thực sự, nên $X/R$ là Hausdorff (no. 1, Mệnh đề 5, Hệ quả 2); do đó ảnh qua $f$ của mọi tập con compact $K$ của $X$ là compact ($\S$ 9, no. 4, Định lý 2, Hệ quả 1).

Bão hòa của $K$ đối với $R$ là $\overline{f}^{-1}(f(K))$ và do đó là compact theo no. 2, Mệnh đề 6.

b) $\Longrightarrow$ c) : Nếu $F'$ đóng trong $X'$ và không chứa $\omega$, thì $F'$ là một tập con compact của $X$; do đó, bao hòa của nó đối với $R'$, cũng chính là bao hòa của nó đối với $R$, là compact và a fortiori đóng trong $X'$. Nếu $\omega \in F'$ và $F = F' \cap X = F' - \{ \omega \}$, thì bao hòa của $F'$ đối với $R'$ là hợp của $\{ \omega \}$ và bao hòa $H$ của $F$ đối với $R$; do đó chỉ cần chứng minh rằng $H$ đóng trong $X$ (tức là $R$ là một quan hệ đóng). Để làm điều này, chỉ cần chứng minh rằng nếu $K$ là một tập con compact bất kỳ của $X$ thì $H \cap K$ là compact ($§ 9$, no. 7, Mệnh đề 11). Theo giả thiết, bao hòa $L$ của $K$ đối với $R$ là compact, và $H \cap L$ là bao hòa của $F \cap L$, cũng compact; a fortiori $H \cap K = (H \cap L) \cap K$ là compact.

c) $\Longrightarrow$ d) : Vì $X'$ là chính quy ($§ 9$, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 1), $C'$ đóng trong $X' \times X'$ ($§ 8$, no. 6, Mệnh đề 14) và do đó compact. Suy ra $C'$ là compact hóa một điểm của $C$ ($§ 9$, no. 8, Định lý 4). Vì hạn chế trên $C'$ của $pr_2 : X' \times X' \to X'$ liên tục tại $\omega$, kết quả suy ra từ no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 7.

d) $\Longrightarrow$ e) : Nếu $F$ là một tập con đóng bất kỳ của $X$, thì $C \cap (F \times X)$ đóng trong $C$, do đó bao hòa của $F$ đối với $R$, bằng $pr_2(C \cap (F \times X))$, là đóng trong $X$ (no. 1, Mệnh đề 1). Ngoài ra, lớp tương đương của $x \in X$ mod $R$ đồng phôi với ảnh ngược của $\{ x \}$ qua hạn chế của $pr_2$ lên $C$ và do đó compact [no. 2, Định lý 1 b)].

e) $\Longrightarrow$ a) : Nếu $R$ đóng, thì theo định nghĩa $f$ đóng, và với mỗi $z \in X/R$, $f^{-1}(z)$ là một lớp tương đương mod $R$ và do đó compact; suy ra $f$ là thực sự theo Định lý 1 b) của no. 2.

Cuối cùng ta phải chứng minh rằng $X/R$ là compact địa phương. $X'/R'$ là compact theo c) và Mệnh đề 8; quan hệ $R$ là quan hệ cảm sinh trên $X$ bởi $R'$; $X$ là mở trong $X'$ và bão hòa đối với $R'$; do đó $X/R$ đẳng cấu tôpô với ảnh $f'(X)$ của $X$ qua ánh xạ chính tắc $f' : X' \to X'/R'$ ($§ 3$, no. 6, Mệnh đề 10, Hệ quả 1). Khi đó $f'(X)$ là mở trong $X'/R'$, và do đó là một không gian con compact địa phương của $X'/R'$.

Q.E.D.

Mệnh đề đầu tiên là hệ quả của các sự kiện rằng mỗi x \in X có một lân cận compact V và f(V) là một lân cận compact của f(x) (§ 5, no. 3, Mệnh đề 5 và § 9, no. 4, Định lý 2, Hệ quả 1). Với mỗi y \in K' gọi V(y) là một lân cận compact của một điểm nào đó của f^{-1}(y) trong X, sao cho f(V(y)) là một lân cận compact của y. Có hữu hạn điểm y_i \in K' sao cho các f(V(y_i)) phủ K'. Gọi K_1 là tập compact $\bigcup_i V(y_i)$ trong X; ta có K' \subset f(K_1); do đó K = K_1 \cap f^{-1}(K') là compact (vì nó đóng trong K_1) và f(K) = K'.