Cho $V$ là một lân cận của $A$ và giả sử rằng mọi tập hợp của $\mathfrak{F}$ đều giao với $\complement V$. Khi đó các giao của những tập hợp của $\mathfrak{F}$ với $\complement V$ tạo thành một cơ sở của một bộ lọc $\mathfrak{G}$ trên $X$; $X$ là quasi-compact, nên $\mathfrak{G}$ có ít nhất một điểm tụ $y$, điểm này không thuộc $A$, vì lân cận $V$ của $A$ không giao với một số tập của $\mathfrak{G}$. Nhưng vì $\mathfrak{G}$ mịn hơn $\mathfrak{F}$, nên $y$ cũng là một điểm tụ của $\mathfrak{F}$, trái với giả thiết.

Tính cần thiết theo § 8, no. 1, Mệnh đề 1; tính đủ theo Định lý 1 trên đây.

Điều kiện là cần thiết vì $X$ là Hausdorff (§ 8, no. 1, Mệnh đề 1). Điều đó là đủ, vì nó có nghĩa là $x$ là điểm tụ duy nhất của $B$; do đó $B$ hội tụ về $x$ theo Hệ quả của Định lý 1 ở no. 1.

Vì từ tiên đề (Hi) (§ 8, no. 1, Mệnh đề 1) suy ra rằng cơ sở của bộ lọc được tạo bởi tất cả các lân cận đóng của một điểm tùy ý của không gian thỏa mãn điều kiện của Mệnh đề 1.

Mệnh đề sau làm rõ Hệ quả của Mệnh đề 1:

Giả sử kết luận là sai. Nếu mọi lân cận $U$ của $A$ đều giao với mọi lân cận $V$ của $B$, thì các tập $U \cap V$ tạo thành một cơ sở của bộ lọc $B$ trên $X$, do đó có một điểm tụ $x \in X$. Bây giờ $x$ phải thuộc $A$, vì nếu $y$ là một điểm bất kỳ của $X$ không thuộc $A$ thì có một lân cận của $y$ và một lân cận của $A$ không giao nhau, vì $X$ chính quy, và do đó $y$ không thể là một điểm tụ của $B$. Tương tự $x$ phải thuộc $B$ và ta có một mâu thuẫn.

Mệnh đề này có những hệ quả quan trọng sẽ được xét trong Chương IX, § 4.

Không gian quasi-compact không Hausdorff $X$ của Ví dụ 2 ở no. 1 không thỏa mãn tiên đề $(O_{III})$, và do đó a fortiori cũng không thỏa mãn tính chất nêu trong Mệnh đề 2, vì bất kỳ hai tập mở không rỗng nào của không gian này luôn giao nhau.

Đây là một hệ quả ngay lập tức của tiên đề $(C'')$ nếu ta nhận xét rằng nếu $A$ đóng trong $X$ thì mọi tập hợp nào đóng trong $A$ cũng đóng trong $X$.

Cho $A$ là một tập con compact của một không gian Hausdorff $X$, và cho $x$ là một điểm bất kỳ của $\overline{A}$; ta phải chứng minh rằng $x \in A$. Theo giả thiết, mọi lân cận của $x$ đều gặp $A$, và do đó bộ lọc lân cận $\mathfrak{B}$ của $x$ trong $X$ gây ra một bộ lọc $\mathfrak{B}_A$ trên $A$; $A$ là compact do đó $\mathfrak{B}_A$ có một điểm tụ $y \in A$. Vì bộ lọc $\mathfrak{B}$ thô hơn bộ lọc trên $X$ sinh bởi $\mathfrak{B}_A$ (coi như một cơ sở bộ lọc trên $X$), nên $y$ cũng là một điểm tụ của $\mathfrak{B}$; do đó $y = x$, vì $\mathfrak{B}$ hội tụ tới $x$ trong $X$ và $X$ là Hausdorff (§ 8, no. 1, Mệnh đề 1).

Chỉ cần chứng minh rằng nếu $A$ và $B$ là hai tập con quasi-compact của một không gian tôpô $X$, thì $A \cup B$ là quasi-compact. Cho $\mathscr{R}$ là phủ của $A \cup B$; khi đó $\mathscr{R}$ là phủ của $A$ và là phủ của $B$; do đó $\mathscr{R}$ chứa một phủ hữu hạn $\mathscr{R}_1$ của $A$ và một phủ hữu hạn $\mathscr{R}_2$ của $B$; $\mathscr{R}_1 \cup \mathscr{R}_2$ vì thế là một phủ hữu hạn của $A \cup B$ chứa trong $\mathscr{R}$.

Nếu $A$ là tương đối compact, thì $\overline{A}$ compact theo Mệnh đề 4 và hệ quả của nó; chiều ngược lại là hiển nhiên.

Thật vậy, nếu $A \subset K$, trong đó $K$ là một tập con quasi-compact của $X$, thì mọi cơ sở lọc trên $A$ đều có một điểm tụ trong $K$.

Đảo lại của mệnh đề này không đúng nếu không có hạn chế nào trên $X$ (Bài tập 22).

Cho $\mathscr{R}$ là một phủ của $f(X)$ bởi các tập mở trong $X'$; khi đó $\overline{f}^{-1}(\mathscr{R})$ là một phủ mở của $X$ (§ 2, no. 1, Định lý 1); do đó tồn tại một tập con hữu hạn $\mathscr{S}$ của $\mathscr{R}$ sao cho $(\mathscr{S} \overline{f})$ là một phủ của $X$; nhưng khi đó $\mathscr{S}$ là một phủ của $f(X)$ và định lý được chứng minh.

Điều này suy ra ngay lập tức từ Hệ quả 1 và Mệnh đề 4 của no. 3.

Đặc biệt:

a) Nếu có một tập gần compact $K$ trong $X$ mà giao với mọi lớp tương đương mod $R$, thì $X/R$ là compact và ánh xạ chính tắc của $K/R_K$ lên $X/R$ là một đồng phôi.

b) Nếu $K$ cũng gặp mỗi lớp tương đương tại đúng một điểm, thì $K$ là một tiết diện liên tục của $X$ đối với quan hệ $R$ (§ 3, no. 5).

Cho $f$ là hạn chế trên $K$ của ánh xạ chính tắc $X \to X/R$. Vì $X/R$ là Hausdorff nên suy ra từ Hệ quả 1 rằng $X/R$ là compact và từ Hệ quả 2 rằng $f$ là đóng; do đó song ánh $K/R_K \to X/R$ tương ứng với $f$ là một đồng phôi (§ 5, no. 2, Mệnh đề 3). Điều này giải quyết a); b) suy ra ngay lập tức, vì lúc này ta có $K/R_K = K$.

Xét theo đặc trưng hóa các không gian tích Hausdorff được cho trong § 8, no. 2, Mệnh đề 7, chỉ cần chứng minh các khẳng định đối với các không gian gần compact. Nếu $X = \prod_{i \in I} X_i$ là gần compact và không rỗng, thì $X_i = \operatorname{pr}_i(X)$ là gần compact do Định lý 2 của no. 4. Ngược lại, giả sử các $X_i$ đều gần compact và cho $\mathfrak{U}$ là một siêu lọc trên $X$; khi đó với mỗi $i \in I$, $\operatorname{pr}_i(\mathfrak{U})$ là một cơ sở siêu lọc trên $X_i$ (§ 6, no. 6, Mệnh đề 10) nên do tiên đề (C') nó hội tụ; vì vậy $\mathfrak{U}$ hội tụ (§ 7, no. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 10) và do đó $X$ là gần compact.

Điều kiện cần suy ra từ Định lý 2 của § 4. Để chứng minh điều kiện đủ, cho $A$ là một tập con của $\prod_i X_i$ sao cho, với mỗi chỉ số $i$, $\operatorname{pr}_i(A)$ được chứa trong một tập gần compact $K_i$ của $X_i$; khi đó $A$ được chứa trong tập gần compact $\prod_i K_i$ của $\prod_i X_i$.

$X$ là một không gian con đóng của $\prod_\alpha X_\alpha$ (§ 8, no. 2, Mệnh đề 7, Hệ quả 2) và do Định lý 3 của no. 5 cùng Mệnh đề 3 của no. 3 thì nó compact. Các khẳng định còn lại là hệ quả của Lý thuyết tập hợp, chương III, § 7, no. 4, Định lý 1. Ta áp dụng định lý này bằng cách lấy $\mathscr{S}_\alpha$ là tập hợp các tập con đóng của $X_\alpha$. Các điều kiện (i) và (ii) chỉ là các tiên đề $(O'_1)$ và $(C'')$ tương ứng; điều kiện (iii) được thỏa vì $\{x_\alpha\}$ là đóng và $f_{\alpha\beta}$ liên tục (§ 2, no. 1, Định lý 1), và cuối cùng điều kiện (iv) được thỏa nhờ Hệ quả 2 của Định lý 2 của no. 4.

Với mỗi $x_\alpha \in \bigcap_{\beta \geq \alpha} f_{\alpha\beta}(X_\beta)$ và mỗi $\beta \geq \alpha$, đặt $L_\beta$ là $\overline{f}_{\alpha\beta}^{-1}(x_\alpha)$. Nếu $\alpha \leq \beta \leq \gamma$, thì ta có $f_{\beta\gamma}(L_\gamma) \subset L_\beta$ và tập hợp mọi chỉ số $\beta \geq \alpha$ là đồng cuối trong tập chỉ số. Suy ra ngay rằng các $L_\beta$ ($\beta \geq \alpha$) tạo thành một hệ ngược các không gian tôpô (với các hạn chế của các $f_{\beta\gamma}$ làm ánh xạ), mà giới hạn ngược $L$ của chúng đồng phôi với $\overline{f}_{\alpha}^{-1}(x_\alpha)$. Vì theo giả thiết các $L_\beta$ là compact và không rỗng, hệ quả suy ra từ Mệnh đề 8.

Gọi $L_\alpha$ là $\overline{u}_\alpha^{-1}(x'_\alpha)$; khi đó rõ ràng các $L_\alpha$ lập thành một hệ ngược của các không gian tôpô (với các hạn chế của các $f_{\alpha\beta}$ làm ánh xạ) và $\overline{u}^{-1}(x' = L)$ là giới hạn ngược của các $L_\alpha$; do đó mệnh đề a) suy ra từ Mệnh đề 8. Mệnh đề b) là một hệ quả tức thì, xét đến Mệnh đề 3 của no. 3.

Cho $X$ là một không gian địa phương compact, thì mỗi điểm $x \in X$ đều có một lân cận compact $V$; vì $X$ là Hausdorff, nên $V$ đóng (no. 3, Mệnh đề 4). Mặt khác, $V$ là một không gian con chính quy của $X$ (no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 1) và do đó $X$ chính quy (§ 8, no. 4, Mệnh đề 13).

Vì giao của một lân cận đóng của $x$ và một lân cận compact của $x$ là một lân cận compact của $x$ (no. 3, Mệnh đề 3).

Tồn tại những không gian tôpô không Hausdorff mà trong đó mỗi điểm đều có một hệ cơ bản các lân cận compact (Bài tập 5).

Hệ quả của Mệnh đề 9 có thể được tổng quát hóa như sau:

Cho $U$ là một lân cận tùy ý của $K$. Với mỗi $x \in K$ có một lân cận compact $W(x)$ của $x$ được chứa trong $U$. Các phần trong của các tập

W(x) lập thành một phủ mở của K khi x chạy qua K; do đó tồn tại một số hữu hạn các điểm $x_i \in K$ ($1 \leq i \leq n$) sao cho các phần trong của các W(x_i) phủ K. Hợp V của các W(x_i) vì thế là một lân cận compact của K được chứa trong U (no. 3, Mệnh đề 5).

Xét Mệnh đề 4 của no. 3, điều này suy ra từ Mệnh đề 3 a) của § 3, no. 1.

Theo giả thiết, với mọi $x \in A$ đều có một lân cận V của x trong X sao cho $V \cap A$ là compact và do đó đóng trong V (no. 3, Mệnh đề 4).

Cho A là một không gian con đóng địa phương của X; khi đó với mỗi $x \in A$ có một lân cận U của x trong X sao cho $U \cap A$ đóng trong U. Cho $V \subset U$ là một lân cận compact của x trong X; $V \cap A = V \cap (U \cap A)$ đóng trong V và do đó compact (no. 3, Mệnh đề 3). Vì $V \cap A$ là một lân cận của x trong A, nên điều phải chứng minh đã xong (rõ ràng A là Hausdorff).

Định lý 1 (no. 1) và Hệ quả 2 của Định lý 2 (no. 4) không mở rộng sang các không gian địa phương compact không compact.

Chẳng hạn, trong một không gian rời rạc vô hạn X, bộ lọc gồm những tập chứa một điểm $x \in X$ đã cho và có phần bù hữu hạn có x là điểm tụ duy nhất của nó nhưng không hội tụ đến x. Vì mọi ánh xạ f của X vào một không gian Hausdorff X' đều liên tục, ảnh của một tập con tùy ý của X qua f (tập này đóng trong X, vì X là rời rạc) nói chung sẽ không là một tập con đóng của X'.

Mệnh đề tương ứng với Định lý 3 của no. 5 là mệnh đề sau đây:

b) Ngược lại, nếu tích của một họ $(X_i)_{i \in I}$ các không gian tôpô không rỗng là địa phương compact, thì các thừa số $X_i$ là compact đối với mọi chỉ số trừ một số hữu hạn, và các thừa số không compact là địa phương compact.

b) Nếu $X = \prod_{i \in I} X_i$ là địa phương compact và các $X_i$ không rỗng, thì mỗi $X_i$ đồng phôi với một không gian con đóng của $X$ ($§ 4$, no. 2, Mệnh đề 4 và $§ 4$, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 7), nên địa phương compact theo Mệnh đề 13. Cho $a = (a_i)$ là một điểm của $X$ và cho $V$ là một lân cận compact của $a$; vì ta có $\operatorname{pr}_i V = X_i$ đối với mọi chỉ số trừ một số hữu hạn ($§ 4$, no. 1), suy ra từ no. 4, Hệ quả 1 của Định lý 2 rằng các $X_i$ compact ngoại trừ một số hữu hạn chỉ số.

Nếu $X$ là một không gian compact địa phương bất kỳ, thì tồn tại một không gian compact $X'$ và một đồng phôi $f$ của $X$ lên phần bù của một điểm trong $X'$. Hơn nữa, nếu $X'_1$ là một không gian compact khác sao cho có một đồng phôi $f_1$ của $X$ lên phần bù của một điểm trong $X'_1$, thì tồn tại một đồng phôi duy nhất $g$ của $X'$ lên $X'_1$ sao cho $f_1 = g \circ f$.

Trước hết ta chứng minh mệnh đề thứ hai của định lý. Ta có

Nếu đồng phôi $g$ tồn tại thì nó phải duy nhất, vì theo định nghĩa ta có $g(x') = f_1(\overline{f}(x'))$ nếu $x' \neq \omega$ và do đó $g(\omega) = \omega_1$. Còn lại chỉ cần chứng minh rằng song ánh $g : X' \to X'_1$ được định nghĩa như vậy là liên tục hai chiều; vì $X'$ và $X'_1$ có thể thay thế cho nhau, ta chỉ cần chứng minh rằng ảnh qua $g$ của một lân cận của một điểm $x' \in X'$ là một lân cận của $g(x')$ trong $X'_1$. Điều này hiển nhiên từ định nghĩa của $g$ nếu $x' \neq \omega$. Nếu $x' = \omega$, cho $V'$ là một lân cận mở của $\omega$ trong $X'$; khi đó $X' - V' = K$ là đóng trong $X'$ và do đó compact (no. 3, Mệnh đề 3) và được chứa trong $f(X)$; suy ra $g(K) = f_1(\overline{f}(K))$ là compact (no. 4, Định lý 2, Hệ quả 1). Suy ra $g(V') = X'_1 - g(K)$ là một lân cận mở của $\omega_1$ (no. 3, Mệnh đề 4). Vậy $g$ là một đồng phôi.

Để chứng minh phần thứ nhất của định lý, hãy cho $X'$ là một tập hợp là tổng của $X$ và một tập hợp gồm một điểm duy nhất $\omega$. Ta định nghĩa một tôpô trên $X'$ bằng cách lấy tập $\mathscr{O}$ các tập con mở của $X'$ gồm tất cả các tập con mở của $X$ và mọi tập con có dạng $(X - K) \cup \{ \omega \}$, trong đó $K$ là một tập con compact của $X$. Vì mọi giao của các tập con compact của $X$ đều là compact (no. 3, Mệnh đề 3 và 4) và vì mọi tập con đóng của một tập compact đều là compact (no. 3, Mệnh đề 3), suy ra $\mathfrak{D}$ thỏa mãn tiên đề $(O_I)$; và vì mọi hợp hữu hạn của các tập con compact của $X$ đều là compact (no. 3, Mệnh đề 5), $\mathfrak{D}$ cũng thỏa mãn $(O_{II})$. Mọi tập con compact của $X$ đều đóng trong $X$ (no. 3, Mệnh đề 4) và do đó tôpô cảm sinh trên $X$ bởi tôpô của $X'$ là tôpô ban đầu trên $X$. Vậy chỉ còn phải chứng minh rằng $X'$ là compact. Trước hết, $X'$ là Hausdorff. Thật vậy, nếu $x, y$ là hai điểm phân biệt bất kỳ của $X$, thì chúng có các lân cận mở rời nhau $V, W$ tương ứng trong $X$, và $V, W$ là mở trong $X'$; mặt khác mỗi $x \in X$ có một lân cận compact $K$ trong $X$, cũng là một lân cận của $x$ trong $X'$, còn

là một lân cận của $\omega$ trong $X'$ và hiển nhiên không giao với $K$. Cuối cùng, $X'$ là gần compact. Cho $(U_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một phủ mở của $X'$; khi đó với ít nhất một chỉ số $\mu \in L$ ta có $U_\mu = (X - K_\mu) \cup \{ \omega \}$ trong đó $K_\mu$ là một tập con compact của $X$. Suy ra tồn tại một tập con hữu hạn $H$ của $L$ sao cho các tập $U_\lambda$ (với $\lambda \in H$) phủ $K_\mu$; nếu $J = H \cup \{ \mu \}$, thì $(U_\lambda)_{\lambda \in J}$ là một phủ mở hữu hạn của $X'$, và chứng minh hoàn tất.

Lưu ý rằng nếu $X$ đã compact rồi, thì $\omega$ là một điểm cô lập của không gian compact $X'$; do đó $X'$ là tổng ($\S$ 2, no. 4, Ví dụ 3) của không gian $X$ và không gian $\{ \omega \}$.

Khi một không gian compact $X'$ đã được xây dựng như trên từ một không gian compact địa phương $X$ bằng cách thêm vào một phần tử $\omega$, người ta thường nói rằng $\omega$ là "điểm ở vô cùng" của $X'$, và rằng $X'$ thu được từ $X$ bằng cách thêm vào một điểm ở vô cùng. $X'$ còn được gọi là compact hóa Alexandroff hoặc compact hóa một điểm của không gian compact địa phương $X$.

\* Ví dụ. Nếu ta áp dụng định lý Alexandroff cho mặt phẳng thực $\mathbf{R}^2$, ta thu được một không gian compact đồng phôi với mặt cầu $S_2$ có phương trình là $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1$ trong $\mathbf{R}^3$. Một đồng phôi của hai không gian này có thể được mô tả như sau: điểm $\omega$ (điểm ở vô cùng) được thêm vào $\mathbf{R}^2$ được ánh xạ vào $(0, 0, 1) \in S_2$, và mỗi điểm $(x_1, x_2)$ của $\mathbf{R}^2$ được ánh xạ vào điểm mà đường thẳng nối các điểm $(0, 1, 1)$ và $(x_1, x_2, 0)$ trong $\mathbf{R}^3$ gặp lại $S_2$. Đồng phôi này được gọi là phép chiếu lập thể.

Cho $X$ là hợp của một dãy $(K_n)$ các tập compact. Cho $U_1$ là một lân cận mở tương đối compact của $K_1$ (no. 7, Mệnh đề 10) và định nghĩa $U_n$ theo quy nạp với $n > 1$ là một lân cận mở tương đối compact của $\overline{U}_{n-1} \in K_n$ (no. 3, Mệnh đề 5; no. 7, Mệnh đề 10). Dãy $(U_n)$ rõ ràng có các tính chất cần thiết.

Vì $K$ có thể được phủ bởi một số hữu hạn các $U_k$, theo tiên đề (C''').

If $X$ là $\sigma$-compact ta có thể xây dựng một dãy các tập hợp con $U_n$ của $X$ như trong Mệnh đề 15, và các lân cận $X' - \overline{U}_n$ của $\omega$ trong $X'$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của $\omega$ nhờ Hệ quả 1. Chiều đảo lại suy ra từ thực tế là các phần bù của các lân cận mở của $\omega$ là các tập hợp con compact của $X$.

Rõ ràng mọi không gian con đóng của một không gian compact địa phương và $\sigma$-compact là compact địa phương và $\sigma$-compact. Tương tự, bất kỳ tích hữu hạn nào của các không gian compact địa phương và $\sigma$-compact đều là compact địa phương và $\sigma$-compact.

Tuy nhiên, lưu ý rằng một không gian con mở của một không gian compact chưa chắc đã là $\sigma$-compact, như định lý của Alexandroff (no. 8, Định lý 4) cho thấy.

Chắc chắn $F$ là Hausdorff. Mặt khác, nếu $(V_i)$ là một phủ mở trong không gian con $F$, thì mỗi $V_i$ có dạng $V_i = U_i \cap F$, trong đó $U_i$ mở trong $X$. Hãy xét phủ mở $\mathscr{R}$ của $X$ gồm CF và các $U_i$; vì $X$ là paracompact, nên $\mathscr{R}$ có một tinh luyện hữu hạn địa phương $\mathscr{R}'$, và các giao với $F$ của các tập hợp thuộc $\mathscr{R}'$ tạo thành một phủ mở hữu hạn địa phương của $F$ mịn hơn phủ đã cho $(V_i)$.

Mặt khác, một không gian con mở của một không gian compact chưa chắc là paracompact (Bài tập 11).

Cho $X$ là một không gian paracompact, $Y$ là một không gian compact, $\mathscr{R}$ là một phủ mở của $X \times Y$. Với mỗi $(x, y) \in X \times Y$ có một lân cận mở $V(x, y)$ của $x$ trong $X$ và một lân cận mở $W(x, y)$ của $y$ trong $Y$ sao cho $V(x, y) \times W(x, y)$ được chứa trong một tập thuộc $\mathscr{R}$. Với mỗi $x \in X$, các tập $W(x, y)$ khi $y$ chạy qua $Y$ tạo thành một phủ mở của $Y$; do đó tồn tại một số hữu hạn các điểm

sao cho các $W(x, y_i)$ phủ $Y$. Kí hiệu $U(x)$ là khi đó mỗi tập mở $U(x) \times W(x, y_i)$ đều được chứa trong một tập của $\mathscr{R}$. Bây giờ cho $(T_i)_{i \in I}$ là một phủ mở hữu hạn địa phương của $X$ mịn hơn phủ $(U(x))_{x \in X}$. Với mỗi $i \in I$, lấy $x_i$ là một điểm của $X$ sao cho $T_i \subset U(x_i)$, và kí hiệu $S_{i, k}$ là các tập $W(x_i, y_k)$ tương ứng với điểm $x_i$ này ($1 \leq k \leq n(x_i)$). Rõ ràng các tập tạo thành một phủ mở của $X \times Y$ mịn hơn $\mathscr{R}$, và chứng minh sẽ đầy đủ nếu ta chỉ ra rằng phủ này hữu hạn địa phương. Cho $(x, y)$ là một điểm bất kỳ của $X \times Y$; có một lân cận $Q$ của $x$ chỉ gặp một số hữu hạn các tập $T_i$, và do đó lân cận $Q \times Y$ của $(x, y)$ chỉ gặp một số hữu hạn các tập $T_i \times S_{i, k}$.

Cho $X$ là tổng của các $X_i$, và cho $(V_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một phủ mở của $X$. Phủ được tạo bởi các tập mở $X_i \cap Y_\lambda$ mịn hơn $(V_\lambda)$. Với mỗi $i \in I$, cho $(U_{i,\mu})_{\mu \in M_i}$ là một tinh chỉnh mở hữu hạn địa phương của phủ $(V_\lambda \cap X_i)_{\lambda \in L}$; khi đó phủ mở của $X$ được tạo bởi các

là hữu hạn địa phương và tinh chỉnh phủ ban đầu $(V_\lambda)$.

Giả sử $X$ là paracompact, và với mỗi $x \in X$ hãy cho $V_x$ là một lân cận mở tương đối compact của $x$ trong $X$. Khi đó theo giả thiết tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương $(U(\alpha))_{\alpha \in A}$ của $X$ tinh chỉnh phủ $(V_x)_{x \in X}$. Vì thế các $U(\alpha)$ đều tương đối compact. Mỗi tập con compact $K$ của $X$ chỉ gặp hữu hạn nhiều tập $U(\alpha)$, vì các tập không rỗng $U(\alpha) \cap K$ tạo thành một phủ mở hữu hạn địa phương của không gian compact $X$; do đó chúng phải có hữu hạn phần tử (mục 1). Bây giờ hãy đặt $R$ là quan hệ sau giữa hai điểm $x, y$ của $X$: "tồn tại một dãy hữu hạn $(\alpha_i)_{1 \leq i \leq n}$ các chỉ số trong $A$ sao cho $x \in U(\alpha_1), \ y \in U(\alpha_n)$ và $U(\alpha_i)$ giao với $U(\alpha_{i+1})$ với $1 \leq i \leq n - 1$".

Dễ thấy ngay rằng $R$ là một quan hệ tương đương, và mỗi lớp tương đương theo $R$ là một tập con mở của $X$ [vì các $U(\alpha)$ là các tập mở]. Do đó $X$ là tổng của các không gian con compact địa phương (mục 7, Mệnh đề 13) được tạo bởi các lớp tương đương theo $R$, và còn lại phải chứng minh rằng mỗi không gian con đó là hợp của một họ con đếm được của họ $(U(\alpha))$.

Cho $x$ là một điểm bất kỳ của $X$, và định nghĩa một dãy $(C_n)$ gồm các tập con mở tương đối compact của $X$ bằng quy nạp theo $n$ như sau; $C_1$ là hợp của các tập $U(\alpha)$ chứa $x$, và với mỗi $n > 1$, $C_n$ là hợp của các tập $U(\alpha)$ giao với $C_{n-1}$. Dễ dàng kiểm tra bằng quy nạp theo $n$ rằng mỗi $C_n$ đều tương đối compact và là hợp của một số hữu hạn các tập $U(\alpha)$. Hơn nữa, lớp tương đương của $x$ đối với $R$ là hợp của các $C_n$: vì nếu $(\alpha_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một dãy các chỉ số sao cho $x \in U(\alpha_1)$ và $U(\alpha_i)$ giao với $U(\alpha_{i+1})$ với $1 \leq i \leq n - 1$, thì ta thấy bằng quy nạp theo $i$ rằng $U(\alpha_i) \subset C_i$ với $1 \leq i \leq n$. Suy ra các lớp tương đương mod $R$ là $\sigma$-compact, và điều đó hoàn tất chứng minh phần thứ nhất của định lý.

Để chứng minh mệnh đề đảo lại, ta có thể giả sử (theo Mệnh đề 18) rằng $X$ là $\sigma$-compact. Cho $\mathfrak{R} = (G_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một phủ mở bất kỳ của $X$, và cho $(U_n)$ là một dãy các tập mở tương đối compact trong $X$ có các tính chất đã nêu trong Mệnh đề 15 của no. 9. Ký hiệu $K_n$ là tập compact $\overline{U}_n - U_{n-1}$ ($U_n = \emptyset$ nếu $n \leq 0$). Tập mở $U_{n+1} - \overline{U}_{n-2}$ là một lân cận của $K_n$ theo phép dựng; do đó với mỗi $x \in K_n$ tồn tại một lân cận $W_x$ của $x$ được chứa trong một trong các tập $G_\lambda$ và đồng thời cũng được chứa trong $U_{n+1} - \overline{U}_{n-2}$. Vì $K_n$ là compact, một số hữu hạn các tập $W_x$ phủ $K_n$; gọi $H_{ni} (1 \leq i \leq p_n)$ là các tập ấy. Khi đó họ $\mathfrak{R}'$ gồm các tập $H_{ni} (n \geq 1, 1 \leq i \leq p_n \text{ cho mỗi } n)$ là một phủ mở của $X$ tinh lọc $\mathfrak{R}$, và vì thế để hoàn tất chứng minh ta phải chỉ ra rằng $\mathfrak{R}'$ là hữu hạn địa phương. Cho $z$ là một điểm bất kỳ của $X$, $n$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $z \in U_n$; khi đó vì $z \notin U_{n-1}$, tồn tại một lân cận $T$ của $z$ được chứa trong $U_n$ và không cắt $U_{n-2}$. Suy ra rằng $T$ chỉ cắt những tập $H_{mi}$ sao cho $n - 2 \leq m \leq n + 1$, tức là $T$ chỉ cắt một số hữu hạn các tập của $\mathfrak{R}'$.

Trong quá trình chứng minh, ta cũng đã thiết lập kết quả sau: