(H) Hai điểm phân biệt bất kỳ của $X$ có các lân cận rời nhau. (Hi) Giao của các lân cận đóng của một điểm bất kỳ của $X$ chỉ gồm riêng điểm đó. (Hii) Đường chéo của không gian tích $X \times X$ là một tập hợp đóng. (Hiii) Với mọi tập hợp $I$, đường chéo của không gian tích $Y = X^I$ là đóng trong $Y$. (Hiv) Không có bộ lọc nào trên $X$ có nhiều hơn một điểm giới hạn. (Hv) Nếu một bộ lọc $\mathfrak{F}$ trên $X$ hội tụ đến $x$, thì $x$ là điểm bám duy nhất của $\mathfrak{F}$.

Ta sẽ chứng minh các hệ kéo theo

và

(H) $\Longrightarrow$ (Hi): Nếu $x \neq y$ thì tồn tại một lân cận mở $U$ của $x$ và một lân cận mở $V$ của $y$ sao cho $U \cap V = \varnothing$; do đó $y \notin \overline{U}$.

(Hi) $\Longrightarrow$ (Hv): Giả sử $y \neq x$; khi đó tồn tại một lân cận đóng $V$ của $x$ sao cho $y \notin V$, và theo giả thiết tồn tại $M \in \mathfrak{F}$ sao cho $M \subset V$; do đó $M \cap C_V = \varnothing$. Nhưng $C_V$ là một lân cận của $y$; vì thế $y$ không phải là một điểm tụ của $\mathfrak{F}$.

(Hv) $\Longrightarrow$ (Hiv): Hiển nhiên, vì mọi điểm giới hạn của một bộ lọc cũng là một điểm tụ.

(Hiv) $\Longrightarrow$ (H): Giả sử $x \neq y$ và mọi lân cận $V$ của $x$ đều gặp mọi lân cận $W$ của $y$. Khi đó các tập hợp $V \cap W$ tạo thành một cơ sở của một bộ lọc mà cả $x$ lẫn $y$ đều là các điểm giới hạn, điều này trái với giả thiết.

(H) $\Longrightarrow$ (Hiii): Cho $(x) = (x_i)$ là một điểm của $X^I$ không thuộc đường chéo $\Delta$. Khi đó tồn tại ít nhất hai chỉ số $\lambda, \mu$ sao cho $x_\lambda \neq x_\mu$. Gọi $V_\lambda$ (resp. $V_\mu$) là một lân cận của $x_\lambda$ (resp. $x_\mu$) trong $X$, sao cho $V_\lambda \cap V_\mu = \varnothing$; khi đó tập hợp $W = V_\lambda \times V_\mu \times \prod_{i \neq \lambda, \mu} X_i$ (trong đó $X_i = X$ nếu $i \neq \lambda, \mu$) là một lân cận của $x$ trong $X^I$ (§ 4, no. 1) không giao với $\Delta$. Do đó $\Delta$ là đóng trong $X^I$.

(Hiii) $\Longrightarrow$ (Hii): Hiển nhiên.

(Hii) $\Longrightarrow$ (H): Nếu $x \neq y$ thì $(x, y) \in X \times X$ không thuộc đường chéo $\Delta$, do đó (§ 4, no. 1) tồn tại một lân cận $V$ của $x$ và một lân cận $W$ của $y$ trong $X$ sao cho $(V \times W) \cap \Delta = \varnothing$, điều đó có nghĩa là

Vì tập hợp này là ảnh ngược của đường chéo của $Y \times Y$ dưới ánh xạ $x \mapsto (f(x), g(x))$, ánh xạ này liên tục (§ 4, no. 1, Mệnh đề 1). Do đó kết quả suy ra từ (Hii) và § 2, no. 1, Định lý 1.

Nói cách khác, một ánh xạ liên tục từ $X$ vào $Y$ (Hausdorff) được xác định duy nhất bởi các giá trị của nó tại mọi điểm của một tập con trù mật của $X$.

Thật vậy, đồ thị này là tập hợp mọi $(x, y) \in X \times Y$ sao cho $f(x) = y$, và hai ánh xạ $(x, y) \to y$ và $(x, y) \to f(x)$ là liên tục.

Chứng minh bằng quy nạp theo $n$: trường hợp $n = 2$ chính là tiên đề (H). Khi đó, giả sử $W_i$ ($1 \leq i \leq n - 1$) là một lân cận của $x_i$ sao cho các $W_i$ đôi một rời nhau. Mặt khác, với $1 \leq i \leq n - 1$ tồn tại một lân cận $T_i$ của $x_i$ và một lân cận $U_i$ của $x_n$ không giao nhau. Nếu ta lấy $V_i$ là $W_i \cap T_i$ với $1 \leq i \leq n - 1$ và

thì các điều kiện của mệnh đề được thỏa mãn.

Vì mọi tập con gồm một điểm đều đóng theo tiên đề (H\textsuperscript{i}).

Cho $V'$ và $W'$ lần lượt là các lân cận rời nhau của $f(x)$ và $f(y)$ trong $X'$; khi đó $\overline{f}^{-1}(V')$ và $\overline{f}^{-1}(W')$ là các lân cận rời nhau lần lượt của $x$ và $y$ trong $X$.

Cho $x \in X$ và cho $V$ là một lân cận đóng của $x$ trong $X$ sao cho không gian con $V$ là Hausdorff. Khi đó các lân cận đóng của $x$ trong $V$ có giao là $\{x\}$ (tiên đề (H\textsuperscript{'})); nhưng chúng cũng là các lân cận đóng của $x$ trong $X$ (§ 3, no. 1) và do đó $X$ thỏa mãn (H\textsuperscript{i}).

Tồn tại các không gian không Hausdorff mà trong đó mỗi điểm đều có một lân cận Hausdorff (Bài tập 7).

Cho $X = \prod_{i \in I} X_i$ là một tích các không gian tôpô. Khi đó nếu $x, y$ là hai điểm phân biệt của $X$, ta có $\operatorname{pr}_i x \neq \operatorname{pr}_i y$ đối với một chỉ số $i$, và Mệnh đề 5 của no. 1 cho thấy rằng $X$ là Hausdorff nếu các $X_i$ là Hausdorff. Ngược lại, nếu $X$ là Hausdorff và các $X_i$ là không rỗng, thì mỗi $X_i$ đẳng cấu đồng phôi với một không gian con của $X$ (§ 4, no. 2, Mệnh đề 4) và do đó là Hausdorff.

Điều kiện là đủ do Mệnh đề 5 của no. 1. Ngược lại, giả sử $X$ là Hausdorff; đặt $Y = \prod_{i \in I} Y_i$ và $f = (f_i)_{i \in I}$ là ánh xạ $x \to (f_i(x))$. Theo Mệnh đề 7 ở trên, $Y$ là Hausdorff, và theo Mệnh đề 3 của § 4, no. 1, $\mathfrak{T}$ là ảnh ngược theo $f$ của tôpô của $Y$. Nếu $f(x) = f(y)$ với hai điểm phân biệt $x, y$ của $X$ thì hiển nhiên mọi tập mở (trong tôpô $\mathfrak{T}$) chứa $x$ cũng chứa $y$, trái với giả thiết rằng $X$ là Hausdorff.

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ sự kiện rằng $X$ là một không gian con của không gian Hausdorff $\prod_\alpha X_\alpha$ (Mệnh đề 7). Để chỉ ra rằng $X$ là đóng trong không gian tích, gọi $F_{\alpha \beta}$ ($\alpha \leq \beta$) là tập con của $\prod_\alpha X_\alpha$ gồm các điểm $x$ sao cho $\operatorname{pr}_\alpha x = f_{\alpha \beta}(\operatorname{pr}_\beta x)$; các $F_{\alpha \beta}$ là đóng trong $\prod_\alpha X_\alpha$ (no. 1, Mệnh đề 2), do đó giao của chúng là $X$ cũng đóng.

Hiển nhiên, mọi tổng của các không gian Hausdorff (§ 2, no. 4, Ví dụ 3) đều là một không gian Hausdorff.

Cho $\varphi : X \to X/R$ là ánh xạ chính tắc; khi đó $C$ là ảnh ngược theo $\varphi \times \varphi : X \times X \to (X/R) \times (X/R)$ của đường chéo $\Delta$ của $(X/R) \times (X/R)$. Phần thứ nhất của mệnh đề do đó suy ra từ tính liên tục của $\varphi \times \varphi$ [Tiên đề (Hii) và Định lý 1 của § 2, no. 1]. Nếu $R$ là mở thì $(X/R) \times (X/R)$ có thể được đồng nhất với không gian thương $(X \times X)/(R \times R)$ ($§ 5$, no. 3, hệ quả của Mệnh đề 8), và khi đó $\Delta$ được đồng nhất với ảnh chính tắc trong $(X \times X)/(R \times R)$ của tập hợp $C$, tập hợp này bão hòa đối với $R \times R$. Vậy $\Delta$ là đóng trong $X \times X$ và do đó $X$ là Hausdorff.

Nếu $R$ không mở, thì có những ví dụ trong đó $C$ là đóng nhưng $R$ không Hausdorff (Bài tập 10 và 28).

Để chứng tỏ rằng $X/R$ là Hausdorff ta cũng có thể áp dụng Mệnh đề 5 của no. 1: $M$ và $N$ là hai lớp tương đương phân biệt của $R$ thì điều kiện đủ là tồn tại một ánh xạ liên tục $f$ từ một tập con mở $A$ của $X$, bão hòa đối với $R$ và chứa $M$ và $N$, vào một không gian Hausdorff $X'$, sao cho 1) $f$ là hằng trên mỗi lớp tương đương mod $R$ được chứa trong $A$, 2) $f$ nhận các giá trị phân biệt trên $M$ và $N$. Thật vậy, vì $A/R_A$ có thể được đồng nhất với một tập con mở của $X/R$ ($§ 3$, no. 6, Mệnh đề 10, Hệ quả 1), ta có thể áp dụng Mệnh đề 5 của no. 1 cho ánh xạ $g : A/R_A \to X'$ được cảm sinh bởi $f$, vì $g$ liên tục ($§ 3$, no. 4, Mệnh đề 6).

Đặc biệt:

Theo ($§ 3$, no. 5), $X/R$ đồng phôi với không gian con $s(X/R)$ của $X$, không gian này là Hausdorff. Hơn nữa $s(X/R)$ là tập hợp tất cả các $x \in X$ sao cho $s(\varphi(x)) = x$, trong đó $\varphi : X \to X/R$ là ánh xạ chính tắc; do đó mệnh đề thứ hai suy ra từ no. 1, Mệnh đề 2.

(O_{III}) Tập hợp các lân cận đóng của mỗi điểm của $X$ là một hệ cơ bản các lân cận của điểm đó.

(O'_{III}) Với mọi tập con đóng $F$ của $X$ và mọi điểm $x \notin F$ đều tồn tại một lân cận của $x$ và một lân cận của $F$ không giao nhau.

(O_{III}) \Longrightarrow (O'_{III}): Nếu $F$ là đóng và $x \notin F$, thì tồn tại một lân cận đóng $V$ của $x$ được chứa trong lân cận $C_F$ của $x$; $V$ và $C_V$ lần lượt là các lân cận của $x$ và $F$, và không có điểm chung nào.

(O'_{III}) \Longrightarrow (O_{III}): Nếu $W$ là một lân cận mở của $x \in X$, thì tồn tại một lân cận $U$ của $x$ và một lân cận $V$ của $C_W$ rời nhau, và do đó $\overline{U} \subset W$.

Cho $A$ là một không gian con của một không gian chính quy $X$. Vì $X$ là Hausdorff, nên $A$ cũng vậy (no. 2); mặt khác, mọi lân cận của một điểm $x \in A$ đối với $A$ đều có dạng $V \cap A$, trong đó $V$ là một lân cận của $x$ trong $X$. Vì $X$ là chính quy nên tồn tại một lân cận $W$ của $x$ trong $X$ vừa đóng trong $X$ vừa được chứa trong $V$; khi đó $W \cap A$ là một lân cận của $x$ trong $A$, đóng trong $A$ và được chứa trong $V \cap A$. Do đó suy ra kết quả. Ngược lại:

$X$ là Hausdorff theo Mệnh đề 6 của no. 2. Cho $x$ là một điểm bất kỳ của $X$ và cho $V$ là một lân cận đóng chính quy của $x$. Nếu $U$ là một lân cận bất kỳ của $x$ được chứa trong $V$, thì $U$ là một lân cận của $x$ tương đối đối với $V$; do đó theo giả thiết tồn tại một lân cận $W$ của $x$ trong $V$ vừa đóng trong $V$ vừa được chứa trong $U$. Nhưng $W$ là một lân cận của $x$ trong $X$ vì $V$ là một lân cận của $x$ trong $X$, và $W$ đóng trong $X$ vì $V$ đóng trong $X$.

Tính duy nhất của $\overline{f}$ suy ra từ nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức (no. 1, Mệnh đề 2, Hệ quả 1). Rõ ràng điều kiện ấy là cần thiết, vì nếu $\overline{f}$ liên tục trên X, thì với mỗi $x \in X$ ta có

(§ 7, no. 5). Ngược lại, giả sử điều kiện ấy được thỏa mãn và định nghĩa với mỗi $x \in X$; $\overline{f}(x)$ là một phần tử xác định tốt của Y, vì Y là Hausdorff. Ta phải chứng minh rằng $\overline{f}$ liên tục tại mỗi điểm $x \in X$. Khi đó, gọi V' là một lân cận đóng của $\overline{f}(x)$ trong Y; khi ấy theo giả thiết tồn tại một lân cận mở V của x trong X sao cho $f(V \cap A) \subset V'$. Vì V là một lân cận của mỗi điểm của nó, ta có với mỗi $z \in V$, và từ đó suy ra $\overline{f}(z) \in \overline{f}(V \cap A) \subset V'$, vì V' đóng. Kết quả bây giờ suy ra từ sự kiện rằng các lân cận đóng của $f(x)$ tạo thành một hệ lân cận cơ bản của $f(x)$ trong Y.

Ánh xạ $\overline{f}$ được gọi là thu được bằng cách mở rộng liên tục f lên X.

Trong mệnh đề của Định lý 1, giả thiết rằng Y là chính quy không thể được làm yếu đi nếu không đặt thêm những điều kiện hạn chế đối với X, A hoặc f (Bài tập 19).

b) $\lim_{x_2, \mathfrak{F}_2} f(x_1, x_2) = g(x_1)$ tồn tại với mọi $x_1 \in X_1$.

Khi đó $\lim_{x_1, \mathfrak{F}_1} g(x_1)$ tồn tại và bằng $\lim_{\mathfrak{F}_1 \times \mathfrak{F}_2} f$.

Cho $X'_1 = X_1 \cup \{\omega_1\}$ (tương ứng $X'_2 = X_2 \cup \{\omega_2\}$) là không gian tôpô liên kết với bộ lọc $\mathfrak{F}_1$ (tương ứng $\mathfrak{F}_2$) (§ 6, no. 5, Ví dụ). Trong không gian tích $X' = X'_1 \times X'_2$ gọi $X''$ là hợp của các không gian con $X_1 \times X'_2$ và $\{(\omega_1, \omega_2)\}$. $X$ rõ ràng là một không gian con trù mật của $X''$, và các giả thiết kéo theo rằng $f(y_1, y_2)$ tiến tới một giới hạn khi $(y_1, y_2)$ tiến tới bất kỳ điểm nào $(x_1, x_2)$ của $X''$ trong khi vẫn nằm trong $X$. Khi đó sự tồn tại của mở rộng của $f$ bằng tính liên tục lên $X''$ suy ra từ Định lý 1. Vì $(\omega_1, \omega_2)$ cũng nằm trong bao đóng của $X_1 \times \{\omega_2\}$ tương đối đối với $X''$, kết quả suy ra ngay lập tức (§ 7, no. 5).

Cho $(a, b)$ là một điểm của $X \times X$ thuộc phần đóng của $C$, và cho $V$ (tương ứng, $W$) là một lân cận đóng của $a$ (tương ứng, một lân cận của $b$) trong $X$; khi đó tồn tại một điểm $(x, y) \in C \cap (V \times W)$. Vì $x \in V$, nên $y$ thuộc bão hòa $S$ của $V$ đối với $R$; do đó mỗi lân cận $W$ của $b$ đều giao với $S$. Theo giả thiết, $S$ là đóng, và vì vậy $b \in S$. Bây giờ cho $B$ là bão hòa của $\{b\}$ đối với $R$, khi đó mỗi lân cận đóng $V$ của $a$ đều giao với $B$; vì theo giả thiết $B$ là đóng và $X$ là chính quy, suy ra $a \in B$ và do đó $(a, b) \in C$. Điều này kết thúc chứng minh.

Điều này suy ra từ Mệnh đề 14 và Mệnh đề 8 của no. 3.

Cho $M$ và $N$ là hai lớp tương đương phân biệt trong $X$. Nếu mỗi lớp trong chúng chỉ gồm một điểm duy nhất trong phần bù của $F$, thì tồn tại hai lân cận mở rời nhau của $M$ và $N$ trong không gian con Hausdorff $CF$; đó là các lân cận của $M$ và $N$ trong $X$ và bão hòa đối với $R$. Nếu $M = F$ (do đó $F \neq \emptyset$) và $N = \{ b \}$ với $b \notin F$, thì vì $X$ là chính quy nên có một lân cận mở của $b$ và một lân cận mở của $F$ không giao nhau; các lân cận này bão hòa đối với $R$, và mệnh đề được chứng minh.

Chú ý rằng không gian thương $X/R$ không nhất thiết là chính quy (Chương IX, § 4, Bài tập 14).