Nếu $a, b \in \overline{H}$ thì $ab^{-1} \in \overline{H}$, bởi vì ánh xạ $(x, y) \to xy^{-1}$ là liên tục trên $G \times G$ và biến $H \times H$ thành $H$ (Chương I, § 2, no. 1, Định lý 1). Tương tự, tính liên tục của ánh xạ $x \to axa^{-1}$ chỉ ra rằng nếu $H$ là chuẩn thì $\overline{H}$ là chuẩn.

Đặc biệt, bao đóng $N$ của tập hợp $\{ e \}$ chỉ gồm phần tử đơn vị của $G$, là một nhóm con chuẩn của $G$; và $N = \{ e \}$ khi và chỉ khi $G$ là Hausdorff ($\S$ 1, no. 2, Mệnh đề 2).

Theo Mệnh đề 1, ta có thể hạn chế vào trường hợp $H$ trù mật trong $G$. Các hàm liên tục $xy$ và $yx$ bằng nhau trên $H \times H$, và do đó bằng nhau trên $G \times G$, theo nguyên lý mở rộng của các đẳng thức (Chương I, § 8, no. 1, Mệnh đề 2, Hệ quả 1).

Vì $M'$ là giao của các tập hợp $F_m (m \in M)$, trong đó $F_m$ là tập hợp tất cả các $x \in G$ sao cho $xm = mx$; và $F_m$ là đóng (Chương I, § 8, no. 1, Mệnh đề 2).

Do phép tịnh tiến, $H$ là đóng địa phương tại mỗi điểm của nó, tức là $H$ là đóng địa phương trong $G$. Cho $V$ là một lân cận mở đối xứng của $e$ trong $G$ sao cho $V \cap H$ là đóng trong $V$. Nếu $x \in \overline{H}$, thì $xV$ gặp $H$; nếu $y \in xV \cap H$, ta có $x \in yV$, và $y(V \cap H) = (yV) \cap H$ là đóng trong $yV$. Nhưng $x$ nằm trong bao đóng của $(yV) \cap H$, do đó $x \in H$.

Nếu một nhóm con $H$ có một điểm trong, thì do phép tịnh tiến mọi điểm của $H$ đều là điểm trong và do đó $H$ là mở. Mệnh đề thứ hai của hệ quả là một trường hợp riêng của Mệnh đề 4.

Nếu $H$ là rời rạc, mọi điểm của $H$ đều là cô lập. Ngược lại, nếu $H$ có một điểm cô lập, thì do phép tịnh tiến mọi điểm của $H$ đều là cô lập và do đó $H$ là rời rạc. Nếu $H$ là rời rạc và $G$ là Hausdorff, thì tồn tại một lân cận $V$ của $e$ sao cho $V \cap H = \{e\}$; $\{e\}$ là đóng trong $G$ và do đó a fortiori trong $V$, vì thế $H$ là đóng địa phương tại $e$. Suy ra $H$ là đóng trong $G$ theo Mệnh đề 4.

Mệnh đề đảo lại của mệnh đề này nói chung là sai, như ta sẽ thấy ở Chương IV (§ 2, no. 5). Nếu một nhóm tôpô $G$ được sinh bởi mỗi lân cận của phần tử đơn vị, thì điều nhiều nhất có thể nói là $G$ không chứa nhóm con mở nào khác $G$.

\* Như một ví dụ về một nhóm không liên thông $G$ có một nhóm con mở phân biệt với $G$, ta có thể nêu nhóm nhân $\mathbf{R}^*$ của các số thực khác không, trong đó nhóm con $\mathbf{R}_+^*$ của các số thực $> 0$ vừa mở vừa đóng (xem Chương IV, § 3, no. 2). \*

Thành phần của phần tử đơn vị $e$ của $G$ được gọi là thành phần đơn vị của $G$.

Vì ánh xạ $(z, x) \to zxz^{-1}$ liên tục trên $G \times G$, và ánh xạ $H \times K$ vào $K$; do đó (Chương I, § 2, no. 1, Định lý 1) nó ánh xạ $G \times \overline{K} = \overline{H} \times K$ vào $\overline{K}$.

Cho $V$ là một lân cận đối xứng bất kỳ của $e$ trong $G$. Khi đó $V \cap H$ là một lân cận của $e$ trong $H$, và do đó sinh ra $H$. Suy ra $V$ sinh ra một nhóm con $H'$ chứa $H$; nhưng $H'$ là mở và đóng (no. 1, Hệ quả của Mệnh đề 4), và do đó chứa $\overline{H} = G$.

Vì ánh xạ này là một song ánh liên tục mà ánh xạ nghịch đảo $x \to s^{-1}.x$ cũng liên tục.

Ta nhắc lại rằng với mỗi $x \in X$, tập hợp $G.x$ gồm các ảnh $s.x$ của $x$ bởi các phần tử $s$ của $G$ được gọi là quỹ đạo của $x$ (đối với nhóm các toán tử $G$), và tập hợp tất cả các $s \in G$ sao cho $s.x = x$ là một nhóm con của $G$ được gọi là nhóm ổn định của $x$. Quan hệ $R(x, y) : "y$ thuộc quỹ đạo của $x"$ là một quan hệ tương đương trên $X$, được gọi là quan hệ tương đương xác định bởi $G$; các lớp tương đương đối với quan hệ này là các quỹ đạo của các điểm của $X$. Không gian tôpô $X/R$ được gọi là không gian quỹ đạo của $X$ (đối với $G$), hoặc không gian thương của $X$ bởi nhóm $G$, và được ký hiệu là $X/G$; và tôpô của $X/G$ được gọi là thương của tôpô của $X$ bởi $G$.

Vì phần bão hòa đối với $R$ của một tập con mở $U$ của $X$ là tập hợp $\bigcup_{s \in G} s.U$, và mỗi $s.U$ là mở theo Bổ đề 1.

Bây giờ cho $S$ là một quan hệ tương đương trên $X$ sao cho, với mỗi $s \in G$, ánh xạ $x \to s.x$ là tương thích với $S$ [nói cách khác, sao cho quan hệ $x \equiv y \pmod{S}$ kéo theo $s.x \equiv s.y \pmod{S}$]; để ngắn gọn, ta sẽ nói rằng quan hệ $S$ là tương thích với nhóm $G$. Nếu $\psi$ là ánh xạ chính tắc của $X$ lên $X/S$, và nếu $s.\psi(x)$ ký hiệu lớp mod $S$ của $s.x$, thì $X/S$ có $G$ làm nhóm các toán tử đối với phép toán ngoài $(s, \psi(x)) \to s.\psi(x) = \psi(s.x)$. Hơn nữa:

Vì quan hệ đẳng thức trên $G$ và quan hệ $S$ trên $X$ đều mở, chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ $(s, x) \to s.\psi(x) = \psi(s.x)$ từ $G \times X$ vào $X/S$ là liên tục (Chương I, § 5, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 8); nhưng điều này suy ra từ tính liên tục của $\psi$ và của ánh xạ

Vì quan hệ tương đương $x^{-1}y \in H$ là mở (no. 4, Bổ đề 2), đây là một trường hợp riêng của Mệnh đề 11 của no. 4.

H là một lớp tương đương đối với quan hệ $x^{-1}y \in H$ và do đó, nếu $G/H$ là Hausdorff, thì H đóng trong G. Ngược lại, nếu H đóng, thì đồ thị của quan hệ này đóng trong $G \times G$, vì nó là ảnh ngược của H qua ánh xạ liên tục $(x, y) \to x^{-1}y$. Vì quan hệ $x^{-1}y \in H$ là mở, suy ra từ Chương I, § 8, no. 3, Mệnh đề 8 rằng $G/H$ là Hausdorff.

Vì các ảnh ngược trong G của các điểm của $G/H$ qua ánh xạ chính tắc là các lớp ghép $xH$ ($x \in G$); và các tập này mở trong G khi và chỉ khi H mở trong G.

Cho X là một không gian tôpô trên đó một nhóm tôpô G tác động liên tục và bắc cầu; khi đó X là một không gian thuần nhất của G (theo nghĩa đại số). Cho x là một điểm của X, H_x là nhóm ổn định của nó. Ánh xạ toàn ánh liên tục s → s.x từ G lên X phân tích một cách chính tắc thành

trong đó f_x là ánh xạ chính tắc từ G lên không gian thuần nhất G/H_x, và g_x là song ánh s.H_x → s.x từ G/H_x lên X; hơn nữa (Chương I, § 3, no. 4, Mệnh đề 6) g_x là một ánh xạ liên tục. Nhưng g_x không nhất thiết là một phép đồng phôi từ G/H_x lên X (Bài tập 29). Nếu g_x là một phép đồng phôi với mỗi x ∈ X, thì ta nói X là một không gian thuần nhất tôpô (của nhóm tôpô G); để được như vậy, điều kiện cần và đủ là, với mỗi x ∈ E, ánh xạ s → s.x từ G vào X phải là mở.

Mọi x ∈ X đều có thể viết dưới dạng x = t.x_0 với một t ∈ G nào đó. Nếu V là một lân cận của e, thì V.x = (Vt).x_0 là một lân cận của x, vì ta có thể viết (Vt).x_0 = t((t^{-1}Vt).x_0), và mệnh đề này suy ra từ các sự kiện rằng t^{-1}Vt là một lân cận của e trong G và y → t.y là một phép đồng phôi của X lên chính nó (no. 4, Bổ đề 1). Suy ra rằng nếu U là một tập con mở bất kỳ của G và x là một điểm bất kỳ của X, thì U.x là mở trong X; vì nếu t ∈ U, thì t^{-1}U là một lân cận của e, do đó (t^{-1}U).x là một lân cận của x, và t.((t^{-1}U).x) = U.x là một lân cận của t.x. Vậy U.x là mở trong X, do đó ánh xạ s → s.x từ G vào X là mở. Điều này hoàn tất chứng minh.

Nếu x → x̂ là ánh xạ chính tắc từ G lên G/H, thì ta phải chứng minh rằng (x̂, ŷ) → x̂ŷ^{-1} là một ánh xạ liên tục từ (G/H) × (G/H) vào G/H. Vì quan hệ tương đương x^{-1}y ∈ H là mở (no. 4, Bổ đề 2), chỉ cần chứng minh rằng (x, y) → x̂ŷ^{-1} là một ánh xạ liên tục từ G × G vào G/H (Chương I, § 5, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 8, và § 3, no. 4, Mệnh đề 6). Nhưng (x, y) → x̂ŷ^{-1} là hợp thành của các ánh xạ liên tục x → x̂ và (x, y) → xy^{-1}, nên là liên tục.

Mỗi khi trong phần sau ta xét một nhóm thương $G/H$ của một nhóm tôpô $G$ như một nhóm tôpô, luôn hiểu rằng tôpô của $G/H$ là thương theo $H$ của tôpô của $G$, trừ khi có tuyên bố rõ ràng ngược lại.

Đây là một trường hợp riêng của Mệnh đề 5 của Chương I, § 5, no. 3.

Các Mệnh đề 13 và 14 cho ta, đặc biệt, đối với các nhóm thương:

Nếu $G$ là một nhóm tôpô và $N$ là bao đóng của $\{e\}$ trong $G$, thì $N$ là một nhóm con chuẩn tắc đóng của $G$ (no. 1, Mệnh đề 1), do đó $G/N$ là Hausdorff; $G/N$ được gọi là nhóm Hausdorff liên kết với $G$.

Cho $V$ là một lân cận của $e$ trong $G$ không chứa điểm nào của $H$ ngoài $e$, và cho $W$ là một lân cận mở đối xứng của $e$ trong $G$ sao cho $W^2 \subset V$. Khi đó hạn chế lên $W$ của ánh xạ chính tắc $\varphi$ từ $G$ lên $G/H$ là đơn ánh; thật vậy, nếu $x, y \in W$ và $\varphi(x) = \varphi(y)$, thì $x^{-1}y \in W^2 \subset V$ và $x^{-1}y \in H$, nên $x = y$. Theo Mệnh đề 17 suy ra rằng hạn chế của $\varphi$ lên $W$ là một đồng phôi từ $W$ lên $\varphi(W)$; hơn nữa, vì $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$ với mọi $x, y \in W$, ta kết luận rằng $G$ và $G/H$ đẳng cấu địa phương (§ 1, no. 3, Mệnh đề 3).

Điều này suy ra từ các nhận xét trước đó, và từ Mệnh đề 10 của no. 4.

Song ánh chính tắc từ $A/(A \cap H)$ lên $\varphi(A)$ là một đồng cấu liên tục, vì nó thu được từ hạn chế của $\varphi$ lên $A$ khi chuyển qua các thương; nhưng nói chung các nhóm tôpô $A/(A \cap H)$ và $AH/H$ không đẳng cấu (xem § 4, no. 1, Mệnh đề 1, Hệ quả 3).

\* Chẳng hạn, lấy $G$ là nhóm cộng $\mathbf{R}$ của các số thực, lấy $H$ là nhóm $\mathbf{Z}$ của các số nguyên, và lấy $A$ là nhóm $\theta \mathbf{Z}$ gồm các bội số nguyên của một số vô tỉ $\theta$. Khi đó $A \cap H = \{0\}$, nên $A/(A \cap H)$ là một nhóm rời rạc, đẳng cấu với $\mathbf{Z}$; mặt khác, $A + H$ trù mật trong $\mathbf{R}$ (như ta sẽ thấy ở Chương V, § 1, no. 1, Mệnh đề 1), do đó $(A + H)/H$, địa phương đẳng cấu với $A + H$ (no. 6, Mệnh đề 19), không phải là một nhóm rời rạc và vì thế không đẳng cấu với $A/(A \cap H)$. \*

Tuy nhiên, ta có mệnh đề sau:

Vì $H_0 = H \cap G_0$, chỉ cần chứng minh rằng nếu $U_0$ là một tập con mở bất kỳ của $G_0$ được bão hòa đối với quan hệ $x^{-1}y \in H_0$, thì $U_0$ là giao của $G_0$ với một tập con mở của $G$ được bão hòa đối với quan hệ $x^{-1}y \in H$ (Chương I, § 3, no. 6, Mệnh đề 10). Cho $U$ là một tập con mở của $G$ sao cho $U_0 = U \cap G_0$. Vì $U_0 = U_0 H_0$, dễ thấy rằng $U_0 = U H_0 \cap G_0$; nhưng $U H_0$ là mở trong $G$, nên ta có thể giả sử rằng $U = U H_0$. Tập hợp $U H$ là mở trong $G$ và được bão hòa đối với quan hệ $x^{-1}y \in H$; do đó mệnh đề sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng $U H \cap G_0 = U_0$. Bây giờ, nếu $u \in U$ và $h \in H$ sao cho $u h \in G_0$, thì tồn tại một lân cận đối xứng $V$ của $e$ trong $G$ sao cho $u V \subset U$; vì $V h$ là một lân cận của $h$ trong $G$, nên tồn tại $z \in V$ sao cho $z h \in H_0$. Nhưng khi đó ta có $u z^{-1} \in U$, và $u h = (u z^{-1})(z h)$; vì thế $U H \cap G_0 \subset U H_0$. Nhưng $U H_0 = U$, do đó $U H \cap G_0 \subset U \cap G_0 = U_0$. Điều này hoàn tất chứng minh.

Cho $G$ là một nhóm tôpô tác động liên tục lên một không gian tôpô $X$, và cho $K$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$ được chứa trong nhóm ổn định của mỗi điểm của $X$. Khi đó, với mỗi $x \in X$, quan hệ $s \equiv t \pmod{K}$ kéo theo $s.x = t.x$, và chuyển qua thương ta định nghĩa một ánh xạ $s \to s.x$ từ $G/K$ vào $X$. Người ta kiểm tra ngay lập tức rằng đối với phép toán ngoài $(s', x) \to s'.x$, X có G/K làm một nhóm các toán tử. Hơn nữa, G/K tác động liên tục lên X đối với luật này; vì quan hệ đẳng thức trên X và quan hệ $s \equiv t \pmod{K}$ trên G đều là những quan hệ tương đương mở, và do đó kết quả suy ra từ tính liên tục của ánh xạ

từ $G \times X$ vào X (Chương I, § 5, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 8, và § 3, no. 4, Mệnh đề 6).

Bây giờ cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục lên một không gian tôpô X, và cho H là một nhóm con chuẩn tắc bất kỳ của G; khi đó H tác động liên tục lên X. Gọi S là quan hệ tương đương do H xác định trên X; khi đó S là mở (no. 4, Bổ đề 2). Quan hệ S tương thích với nhóm G (no. 4); vì nếu $y \equiv x \pmod{S}$ thì tồn tại $t \in H$ sao cho $y = t.x$; do đó với mọi $s \in G$ ta có $s.y = (sts^{-1}).s.x$, và $sts^{-1} \in H$ vì H là chuẩn tắc trong G; vậy $s.y \equiv s.x \pmod{S}$. Nếu $\psi$ là ánh xạ chính tắc của X lên X/S, thì nhóm G do đó tác động liên tục lên X/S đối với phép toán ngoài

(no. 4, Mệnh đề 11). Hơn nữa, nhóm H được chứa trong nhóm ổn định của mỗi điểm của X/S; như đã thấy ở trên, G/H tác động liên tục lên $X/S = X/H$ đối với phép toán ngoài $(s', \psi(x)) \to \psi(s.x)$. Nếu R ký hiệu quan hệ tương đương trên X do G xác định, thì quan hệ S kéo theo R, và quan hệ tương đương R/S trên X/S là quan hệ được xác định bởi nhóm G/H. Vậy nên (Chương I, § 3, no. 4, Mệnh đề 7):

Ta đã biết rằng song ánh này là một đẳng cấu nhóm, và Mệnh đề 22 (áp dụng cho nhóm K tác động bên phải lên G) cho thấy rằng nó là một đồng phôi.

Giả sử $f$ liên tục tại một điểm $a \in G$; khi đó nếu $V'$ là một lân cận bất kỳ của $f(a)$, thì $V = \overline{f^{-1}}(V')$ là một lân cận của $a$. Do đó nếu $x$ là một điểm bất kỳ của $G$, ta có

và vì thế $f$ liên tục tại $x$.

Một đồng cấu liên tục từ một nhóm tôpô $G$ vào một nhóm tôpô $G'$ còn được gọi là một cấu xạ từ $G$ vào $G'$ đối với các cấu trúc nhóm tôpô.

Cho $f$ là một đồng cấu liên tục của một nhóm tôpô $G$ vào một nhóm tôpô $G'$; ảnh ngược $H = \overline{f^{-1}}(e')$ của phần tử đơn vị $e'$ của $G'$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$, và $f(G)$ là một nhóm con của $G'$. Xét sự phân tích chính tắc $f = \psi \circ \dot{f} \circ \varphi$, trong đó $\varphi$ là ánh xạ chính tắc $G \to G/H$, $\psi$ là đơn ánh chính tắc $f(G) \to G'$ và sau cùng $\dot{f}$ là một đồng cấu liên tục song ánh của nhóm thương $G/H$ lên nhóm con $f(G)$ (Chương I, § 3, no. 5); người ta nói rằng $\dot{f}$ là đồng cấu song ánh liên kết với $f$. Nói chung, $\dot{f}$ không phải là một đẳng cấu của các nhóm tôpô.

Ví dụ, cho $G'$ là một nhóm tôpô không rời rạc, và $G$ là nhóm tôpô thu được bằng cách trang bị cho $G'$ tôpô rời rạc; khi đó ánh xạ đồng nhất từ $G$ vào $G'$ là một đồng cấu liên tục song ánh, nhưng không song liên tục.

Theo Bổ đề 2 của no. 4, tính tương đương của a) và b) suy ra ngay lập tức từ các định nghĩa (Chương I, § 5, no. 3, Mệnh đề 5). Tính tương đương của b) và c) là một trường hợp riêng của Mệnh đề 15 của no. 5, nếu ta nhận thấy rằng $G$ tác động liên tục trên $f(G)$ bởi luật ngoài $(s, f(t)) \to f(st)$.

Đây là một trường hợp riêng của Chương I, § 4, no. 3, Mệnh đề 8.

Cho $(X_i)_{i \in I}$ là một họ các không gian tôpô, và với mỗi $i \in I$ cho $G_i$ là một nhóm tôpô tác động liên tục trên $X_i$. Rõ ràng là khi đó nhóm tích $G = \prod_{i \in I} G_i$ tác động liên tục trên không gian tích $X = \prod_{i \in I} X_i$ theo luật

(Chương I, § 4, no. 1, Mệnh đề 1, Hệ quả 1, và Mệnh đề 2). Hơn nữa quỹ đạo dưới tác động của $G$ của một điểm $x = (x_i)$ của $X$ là tích của các quỹ đạo của các $x_i$ (đối với các nhóm $G_i$). Gọi $\varphi_i$ là ánh xạ chính tắc từ $X_i$ lên $X_i/G_i$, và gọi $\varphi = (\varphi_i)$ là ánh xạ tích từ $X$ lên $\prod_{i \in I} (X_i/G_i)$; khi đó nhận xét trên cho thấy song ánh liên kết với $\varphi$ một cách chính tắc ánh xạ không gian quỹ đạo $X/G$ lên $\prod_{i \in I} (X_i/G_i)$. Hơn nữa: