§ 1. 1. Tôpô trên các nhóm · Tô pô đại cương

1. Tôpô trên các nhóm

1. Nhóm tôpô

Trong bốn tiết đầu của chương này, luật hợp thành của một nhóm nói chung sẽ được viết theo lối nhân, và e sẽ chỉ phần tử đơn vị; việc chuyển các kết quả sang ký hiệu cộng tính (mà ta nhắc lại là chỉ dành riêng cho các nhóm giao hoán) thường để cho người đọc.

Định nghĩa 1

Một nhóm tôpô là một tập hợp G được trang bị một cấu trúc nhóm và một tôpô, đồng thời thỏa mãn hai tiên đề sau đây:

(GT_I). Ánh xạ $(x, y) \to xy$ từ $G \times G$ vào $G$ là liên tục.

(GT_{II}). Ánh xạ $x \to x^{-1}$ từ $G$ vào $G$ (phép đối xứng của nhóm G) là liên tục.

Người ta nói rằng một cấu trúc nhóm và một tôpô trên một tập hợp G là tương thích nếu chúng thỏa mãn (GT_I) và (GT_{II}).

Ví dụ 1

Tôpô rời rạc trên một nhóm G là tương thích với cấu trúc nhóm. Một nhóm tôpô mà tôpô của nó là rời rạc được gọi là một nhóm rời rạc.

Mặt khác, tôpô thô nhất (Chương I, § 2, no. 2) trên G là tương thích với cấu trúc nhóm của G.

Ví dụ 2

Trong Chương IV, ta sẽ thấy rằng tôpô của đường thẳng hữu tỉ Q (tương ứng, đường thẳng thực R) là tương thích với cấu trúc nhóm cộng của Q (tương ứng, R).

Ví dụ 3

Nếu G là một nhóm tôpô, thì tôpô của nó tương thích với cấu trúc của nhóm $G^0$ là nhóm đối của G; $G^0$ , với tôpô này, được gọi là nhóm tôpô đối của G.

Các tiên đề $(\mathrm{GT}_\mathrm{I})$ và $(\mathrm{GT}_\mathrm{II})$ tương đương với mệnh đề sau đây:

(GT'). Ánh xạ $(x, y) \to xy^{-1}$ từ $G \times G$ vào $G$ là liên tục.

Rõ ràng $(\mathrm{GT}_\mathrm{I})$ và $(\mathrm{GT}_\mathrm{II})$ cùng nhau suy ra (GT'). Ngược lại, (GT') suy ra $(\mathrm{GT}_\mathrm{II})$ , vì khi đó $x \to ex^{-1} = x^{-1}$ liên tục; và (GT') cùng với $(\mathrm{GT}_\mathrm{II})$ suy ra $(\mathrm{GT}_\mathrm{I})$ , vì khi đó $(x, y) \to x(y^{-1})^{-1} = xy$ liên tục.

Nếu $a$ là một phần tử bất kỳ của $G$ , thì phép tịnh tiến trái $x \to ax$ (resp. phép tịnh tiến phải $x \to xa$ ) liên tục, theo $(\mathrm{GT}_\mathrm{I})$ , và do đó là một phép đồng phôi của $G$ lên $G$ . Vì thế các ánh xạ $x \to axb$ , khi $a$ và $b$ chạy qua $G$ , tạo thành một nhóm các phép đồng phôi của $G$ ; các ánh xạ $x \to axa^{-1}$ (resp. $x \to ax, x \to xa$ ), trong đó $a$ chạy qua $G$ , tạo thành một nhóm con của nhóm các phép đồng phôi này. Hơn nữa, vì phép đối xứng $x \to x^{-1}$ là một phép hoán vị đối hợp của $G$ , tiên đề $(\mathrm{GT}_\mathrm{II})$ cho thấy rằng ánh xạ này là một phép đồng phôi của $G$ lên $G$ .

Nếu $A$ là một tập con mở (tương ứng, đóng) của $G$ , và nếu $x$ là một điểm bất kỳ của $G$ , thì các tập hợp $x.A, A.x$ và $A^{-1} (*)$ là mở (tương ứng, đóng), vì chúng là các ảnh của $A$ qua một trong các phép đồng phôi ở trên. Nếu $A$ là mở và $B$ là một tập con bất kỳ của $G$ , thì $AB$ và $BA$ là mở, vì chúng là các hợp của các tập hợp mở [tiên đề $(\mathrm{O}_\mathrm{I})$ ]. Nếu $V$ là một lân cận của $e$ trong $G$ , thì $VA$ và $AV$ là các lân cận của $A$ ; thật vậy, nếu $W$ là một lân cận mở của $e$ được chứa trong $V$ , thì $WA$ và $AW$ là mở và chứa $A$ .

Mặt khác, $AB$ không nhất thiết đóng khi $A$ đóng, ngay cả nếu $B$ cũng đóng (x. § 4, no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 1).

\* Ví dụ, trong nhóm cộng của đường thẳng thực $\mathbf{R}$ , nhóm con $\mathbf{Z}$ của các số nguyên hữu tỉ là đóng, và nhóm con $\theta \mathbf{Z}$ gồm mọi bội số nguyên $n\theta$ của một số vô tỉ $\theta$ cũng vậy; nhưng nhóm con $\mathbf{Z} + \theta \mathbf{Z}$ của $\mathbf{R}$ , là tập hợp mọi số thực $m + n\theta$ (trong đó $m$ và $n$ nhận mọi giá trị nguyên) thì không đóng trong $\mathbf{R}$ , như ta sẽ thấy ở Chương V, § 1.

Lại cho $A$ là tập con của nhóm cộng của $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ gồm mọi cặp $(x, y)$ sao cho $x \geqslant 0$ và $0 \leqslant y \leqslant 1 - \frac{1}{x+1}$ ; và cho $B$ là tập hợp mọi cặp $(x, 0)$ , khi $x$ chạy qua $\mathbf{R}$ . $A$ và $B$ là đóng, nhưng $A + B$ là tập hợp mọi cặp $(x, y)$ sao cho $0 \leqslant y < 1$ , và không đóng trong $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ . \

Cho $X$ là một không gian tôpô và $f$ và $g$ là hai ánh xạ từ $X$ vào một nhóm tôpô $G$ . Nếu $f$ và $g$ liên tục tại một điểm $x_0$

(*) Ta nhắc lại rằng nếu $A$ và $B$ là hai tập hợp con của một nhóm $G$ , thì $A.B$ hoặc $AB$ ký hiệu tập hợp tất cả các tích $xy$ với $x \in A$ và $y \in B$ ; $A^{-1}$ ký hiệu tập hợp tất cả các phần tử $x^{-1}$ với $x \in A$ . Nếu $B$ chỉ gồm một phần tử $x$ , thì ta viết $x.A$ hoặc $xA$ (tương ứng, $A.x$ hoặc $Ax$ ) thay cho $\{ x \}.A$ (tương ứng, $A.\{ x \}$ ).

của X, thì $f^{-1}$ và $fg$ cũng vậy(*), theo Định lý 2 của Chương I, § 2, no. 1. Đặc biệt, các ánh xạ liên tục từ X vào G tạo thành một nhóm con của nhóm $G^X$ gồm mọi ánh xạ từ X vào G.

Lại nữa, cho $f$ và $g$ là hai ánh xạ từ một tập hợp X, được lọc bởi một bộ lọc $\mathfrak{F}$ , vào một nhóm tôpô Hausdorff G. Nếu $\lim_{\mathfrak{F}} f$ và $\lim_{\mathfrak{F}} g$ tồn tại, thì $\lim_{\mathfrak{F}} f^{-1}$ và $\lim_{\mathfrak{F}} fg$ cũng tồn tại, và ta có (Chương I, § 7, no. 4, Mệnh đề 9, Hệ quả 1)

(1)

\lim_{\mathfrak{F}} f^{-1} = (\lim_{\mathfrak{F}} f)^{-1},

(2)

\lim_{\mathfrak{F}} fg = (\lim_{\mathfrak{F}} f) (\lim_{\mathfrak{F}} g).

Khi G là một nhóm giao hoán, được viết theo lối cộng, tiên đề (GT') cho biết rằng $(x, y) \to x - y$ là một ánh xạ liên tục. Nếu $f$ và $g$ là các ánh xạ từ một không gian tôpô X vào G, liên tục tại một điểm $x_0$ , thì $f - g$ liên tục tại điểm đó. Các công thức (1) và (2) có thể được chép lại tương tự.

2. Lân cận của một điểm trong một nhóm tôpô

Cho $\mathfrak{B}$ là bộ lọc lân cận của phần tử đơn vị $e$ trong một nhóm tôpô G, và cho $a$ là một điểm bất kỳ của G. Vì $x \to ax$ và $x \to xa$ là các phép đồng phôi, suy ra bộ lọc lân cận của $a$ là họ $a.\mathfrak{B}$ các tập hợp $a.V$ , trong đó V chạy qua $\mathfrak{B}$ , và cũng là họ $\mathfrak{B}.a$ các tập hợp $V.a$ . Do đó ta biết bộ lọc lân cận của mọi điểm của một nhóm tôpô ngay khi ta biết bộ lọc lân cận của phần tử đơn vị $e$ của nhóm.

Nếu ta nói rằng $xy$ và $x^{-1}$ liên tục tại $x = y = e$ , thì ta thu được (Chương I, § 2, no. 1):

(GV_I). Với mọi $U \in \mathfrak{B}$ , tồn tại $V \in \mathfrak{B}$ sao cho $V.V \subset U$ .

(GV_{II}). Với mọi $U \in \mathfrak{B}$ , ta có $\overline{U} \in \mathfrak{B}$ .

Mọi bộ lọc $\mathfrak{B}$ trên G thỏa mãn (GV_I) và (GV_{II}) cũng thỏa mãn (GV_a). Với mọi $U \in \mathfrak{B}$ , tồn tại $V \in \mathfrak{B}$ sao cho $V.V^{-1} \subset U$ . Thật vậy, theo (GV_I), tồn tại $W \in \mathfrak{B}$ sao cho $W.W \subset U$ , và theo (GV_{II}) tồn tại $V \in \mathfrak{B}$ sao cho $V \subset W \cap W^{-1}$ ; do đó $V^{-1} \subset W$ và vì thế $V.V^{-1} \subset W.W \subset U$ .

Ngược lại, nếu một bộ lọc $\mathfrak{B}$ trên G thỏa mãn (GV_a), trước hết suy ra rằng $e$ thuộc mọi tập $U \in \mathfrak{B}$ ; thật vậy, nếu $V \in \mathfrak{B}$ sao cho $V.V^{-1} \subset U$ ,

() Chúng tôi nhắc lại rằng $f^{-1}$ là ánh xạ $x \to (f(x))^{-1}$ và $fg$ là ánh xạ $x \to f(x)g(x)$ ; không nên nhầm chúng với $f^{-1}$ và $f \circ g$ (khi các ánh xạ này được xác định) (Lý thuyết tập hợp*, R, § 2, số 6 và 11).

khi đó, vì $V$ không rỗng, ta có $x.x^{-1} = e \in U$ với mọi $x \in V$ . Do đó điều kiện $(GV_a)$ suy ra $V^{-1} \subset V.V^{-1} \subset U$ , nên $U^{-1} \in \mathfrak{B}$ mỗi khi $U \in \mathfrak{B}$ . Cuối cùng, nếu $V \in \mathfrak{B}$ sao cho $V.V^{-1} \subset U$ , và nếu $W \in \mathfrak{B}$ sao cho $W \subset V \cap V^{-1}$ , thì ta có $W.W \subset U$ . Như vậy ta thấy rằng $(GV_a)$ là tương đương với phép hội của $(GV_1)$ và $(GV_{II})$ .

Cuối cùng, vì $x \to axa^{-1}$ là một đồng phôi để lại $e$ bất động, $\mathfrak{B}$ có tính chất sau:

$(GV_{III}).$ Với mọi $a \in G$ và mọi $V \in \mathfrak{B}$ , ta có $a.Va^{-1} \in \mathfrak{B}$ .

Ba tính chất này của bộ lọc $\mathfrak{B}$ là đặc số:

Mệnh đề 1

Cho* $G$ là một nhóm và cho $\mathfrak{B}$ là một bộ lọc trên $G$ thỏa mãn các tiên đề $(GV_1)$ , $(GV_{II})$ và $(GV_{III})$ . Khi đó tồn tại duy nhất một tôpô trên $G$ , tương thích với cấu trúc nhóm của $G$ , mà đối với tôpô này $\mathfrak{B}$ là bộ lọc lân cận của phần tử đơn vị $e$ . Đối với tôpô này, bộ lọc lân cận của mọi điểm $a \in G$ trùng với mỗi một trong hai bộ lọc $a.\mathfrak{B}$ và $\mathfrak{B}.a$ .

Nếu có một tôpô với các tính chất được yêu cầu, thì theo điều đã nói ở trên, bộ lọc lân cận của $a$ trùng với mỗi bộ lọc $a.\mathfrak{B}$ và $\mathfrak{B}.a$ ; do đó tôpô là duy nhất, nếu nó tồn tại. Sự tồn tại của nó sẽ được thiết lập nếu ta chỉ ra 1) rằng các bộ lọc $a.\mathfrak{B}$ là các bộ lọc lân cận của một tôpô trên $G$ , và 2) rằng tôpô này tương thích với cấu trúc nhóm của $G$ .

1) Bộ lọc $a.\mathfrak{B}$ thỏa mãn tiên đề $(V_{III})$ (xem Chương I § 1, no. 2) do $(GV_1)$ và $(GV_{II})$ , như ta đã thấy; vì thế để chỉ ra rằng $a.\mathfrak{B}$ là bộ lọc lân cận của $a$ trong một tôpô trên $G$ , ta phải kiểm tra tiên đề $(V_{IV})$ . Khi đó, lấy $V$ là một tập hợp bất kỳ của $\mathfrak{B}$ , và $W$ là một tập hợp của $\mathfrak{B}$ sao cho $W.W \subset V$ ; khi ấy với mọi $x \in a.W$ ta có $x.W \subset a.W.W \subset a.V$ , nên $a.V$ thuộc bộ lọc $x.\mathfrak{B}$ ; do đó $(V_{IV})$ được thỏa mãn.

2) Bây giờ ta hãy chứng minh rằng tôpô được xác định bởi các bộ lọc lân cận $a.\mathfrak{B}$ thỏa mãn $(GT')$ . Cho $a, b$ là hai điểm bất kỳ của $G$ ; nếu đặt $x = au$ và $y = bv$ , thì ta phải chứng minh rằng $xy^{-1}$ gần $ab^{-1}$ tùy ý, mỗi khi $u$ và $v$ đủ gần $e$ . Mà $(ab^{-1})^{-1}(xy^{-1}) = buv^{-1}b^{-1}$ ; cho $U$ là một lân cận bất kỳ của $e$ , khi đó ta sẽ có $buv^{-1}b^{-1} \in U$ nếu $uv^{-1} \in b^{-1}Ub = V$ , và $V \in \mathfrak{B}$ theo $(GV_{III})$ . Nhưng theo $(GV_1)$ và $(GV_{II})$ tồn tại $W \in \mathfrak{B}$ sao cho $W.W^{-1} \subset V$ ; do đó chỉ cần lấy $u \in W$ và $v \in W$ thì có $xy^{-1} \in (ab^{-1})U$ . Điều này hoàn tất chứng minh.

Một phương pháp chung để định nghĩa một tôpô tương thích với một cấu trúc nhóm trên $G$ là cho một bộ lọc thỏa mãn các tiên đề $(GV_1)$ , $(GV_{II})$ và $(GV_{III})$ . Các điều kiện tương ứng đối với một cơ sở bộ lọc $\mathfrak{B}$ là như sau:

$(GV'_1).$ Với mọi $U \in \mathfrak{B}$ , tồn tại $V \in \mathfrak{B}$ sao cho $V.V \subset U$ .

(GV_{II}). Với mọi $U \in \mathfrak{B}$ , tồn tại $V \in \mathfrak{B}$ sao cho $V^{-1} \subset U$ .

(GV'_{III}). Với mọi $a \in G$ và mọi $U \in \mathfrak{B}$ , tồn tại $V \in \mathfrak{B}$ sao cho $V \subset a . U . a^{-1}$ .

Một lân cận của $e$ trùng với ảnh của nó qua đối xứng $x \to x^{-1}$ được gọi là đối xứng. Nếu $V$ là một lân cận bất kỳ của $e$ , thì $V \cup V^{-1}$ , $V \cap V^{-1}$ và $V . V^{-1}$ là các lân cận đối xứng. Theo (GV_{II}), các lân cận đối xứng tạo thành một hệ lân cận cơ bản của $e$ . Cũng suy ra từ (GV_{I}) rằng khi $V$ chạy qua một hệ lân cận cơ bản của $e$ , thì các tập hợp $V^n$ (trong đó $n$ là một số nguyên cố định $\neq 0$ ) tạo thành một hệ lân cận cơ bản của $e$ .

Nhận xét

Nếu $G$ giao hoán, ta có $x . A . x^{-1} = A$ với mọi tập con $A$ của $G$ và mọi $x \in G$ , và do đó (GV_{III}) [tương ứng, (GV'_{III})] được thỏa mãn một cách tự động đối với mọi bộ lọc (tương ứng, cơ sở bộ lọc) trên $G$ . Mặt khác, nếu $G$ không Abel, thì (GV_{III}) không phải là một hệ quả của (GV_{I}) và (GV_{II}) [xem Bài tập 5].

Nếu $G$ là một nhóm giao hoán, được viết theo lối cộng, thì các tiên đề đặc trưng cho bộ lọc $\mathfrak{B}$ các lân cận của phần tử không đối với một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm của $G$ do đó là như sau:

(GA_{I}). Với mọi $U \in \mathfrak{B}$ , tồn tại $V \in \mathfrak{B}$ sao cho $V + V \subset U$ .

(GA_{II}). Với mọi $U \in \mathfrak{B}$ , ta có $-U \in \mathfrak{B}$ .

Mệnh đề 2

Một nhóm tôpô* $G$ là Hausdorff khi và chỉ khi tập hợp $\{e\}$ là đóng.

Rõ ràng, nếu $G$ là Hausdorff, thì $\{e\}$ là đóng. Ngược lại, nếu $\{e\}$ là đóng, thì đường chéo $\Delta$ của $G \times G$ là đóng, vì nó là ảnh ngược của $\{e\}$ dưới ánh xạ liên tục $(x, y) \to xy^{-1}$ ; do đó (Chương I, § 8, no. 1, Mệnh đề 1) $G$ là Hausdorff.

Hệ quả

Một nhóm tôpô* $G$ là Hausdorff khi và chỉ khi giao của các lân cận của $e$ chỉ gồm điểm $e$ .

Điều kiện ấy rõ ràng là cần thiết. Ngược lại, nếu giao của tất cả các lân cận của $e$ chỉ là $\{e\}$ , thì với mọi $x \neq e$ cho trước có một lân cận $V$ của $e$ sao cho $x^{-1} \notin V$ và do đó $e \notin xV$ . Điều này chứng tỏ rằng $x$ không thuộc bao đóng của $\{e\}$ , và vì thế $\{e\}$ là đóng, nên $G$ là Hausdorff.

Ví dụ

Định nghĩa một tôpô trên một nhóm bằng một tập hợp các nhóm con.* Nếu $\mathfrak{B}$ là một cơ sở lọc trên một nhóm $G$ , được tạo thành từ các nhóm con của $G$ , thì thấy ngay lập tức rằng $\mathfrak{B}$ thỏa mãn các tiên đề (GV_{I}) và (GV_{II}), vì $H . H^{-1} = H$ với mọi nhóm con $H$ của $G$ . Do đó tập hợp $\mathfrak{B}$ sẽ là một hệ cơ bản các lân cận của $e$ trong một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm của $G$ , miễn là $\mathfrak{B}$ thỏa mãn (GV_{III}); điều này đặc biệt đúng nếu mọi nhóm con trong $\mathfrak{B}$ đều là chuẩn tắc, vì thế luôn luôn đúng nếu $G$ là giao hoán. Tôpô được định nghĩa như vậy là Hausdorff, theo Mệnh đề 2, khi và chỉ khi giao của tất cả các nhóm con trong $\mathfrak{B}$ chỉ gồm $e$ . Những trường hợp đáng quan tâm nhất là các trường hợp trong đó nhóm con $\{ e \}$ không thuộc $\mathfrak{B}$ (nếu không thì tôpô được định nghĩa bởi $\mathfrak{B}$ là tôpô rời rạc): nếu $\{ e \} \notin \mathfrak{B}$ , tôpô được định nghĩa bởi $\mathfrak{B}$ chỉ là Hausdorff nếu $\mathfrak{B}$ là một tập hợp vô hạn.

Vì giao của hai nhóm con là một nhóm con, ta có thể định nghĩa một tôpô trên $G$ , tương thích với cấu trúc nhóm của nó, xuất phát từ bất kỳ tập hợp nào $\mathfrak{F}$ các nhóm con của $G$ : đặt $\mathfrak{G}$ là tập hợp của mọi nhóm con $a.H.a^{-1}$ , trong đó $H \in \mathfrak{F}$ và $a \in G$ , và đặt $\mathfrak{B}$ là tập hợp của mọi giao hữu hạn của các nhóm con thuộc $\mathfrak{G}$ . Khi đó $\mathfrak{B}$ là một cơ sở bộ lọc và thỏa mãn (GV $_{\text{III}}$ ).

Xét riêng nhóm cộng của một vành $A$ . Mỗi tập hợp $\mathfrak{F}$ các iđêan của $A$ xác định một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm cộng này. Tôpô này là Hausdorff nếu giao của tất cả các iđêan thuộc $\mathfrak{F}$ là iđêan không, và nó không rời rạc nếu không có giao hữu hạn nào của các iđêan thuộc $\mathfrak{F}$ là iđêan không. Các tôpô được xác định theo cách này giữ một vai trò quan trọng trong lý thuyết số (xem các Bài tập của §§ 6 và 7 của chương này).

3. Đẳng cấu và đẳng cấu địa phương

Phù hợp với các định nghĩa tổng quát (Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 1, no. 5), một đẳng cấu $f$ của một nhóm tôpô $G$ lên trên một nhóm tôpô $G'$ là một ánh xạ song ánh từ $G$ lên $G'$ đồng thời là một đẳng cấu của cấu trúc nhóm của $G$ lên cấu trúc nhóm của $G'$ , và một đồng phôi của $G$ lên $G'$ . Nói cách khác, $f$ là một đẳng cấu từ $G$ lên $G'$ khi và chỉ khi: 1) $f$ là song ánh; 2) $f(xy) = f(x)f(y)$ với mọi $x, y \in G$ ; và 3) $f$ là song liên tục.

Ví dụ, nếu $a$ là một điểm bất kỳ của $G$ , ánh xạ $x \to axa^{-1}$ là một đẳng cấu của $G$ lên $G$ , tức là (loc. cit.), một tự đẳng cấu của nhóm tôpô $G$ . Nó được gọi là một tự đẳng cấu trong.

Nếu một tôpô $\mathscr{C}$ tương thích với cấu trúc nhóm của một nhóm $G$ , thì $\mathscr{C}$ cũng tương thích với cấu trúc nhóm đối của $G$ . Nếu $G^0$ ký hiệu nhóm tôpô nhận được bằng cách trang bị cho nhóm đối của $G$ tôpô $\mathscr{C}$ , thì phép đối xứng $x \to x^{-1}$ là một đẳng cấu của nhóm tôpô $G$ lên nhóm tôpô $G^0$ .

Định nghĩa 2

Nếu* $G$ và $G'$ là hai nhóm tôpô, một đẳng cấu địa phương của $G$ với $G'$ là một đồng phôi $f$ từ một lân cận $V$ của phần tử đơn vị của $G$ lên một lân cận $V'$ của phần tử đơn vị của $G'$ *thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1) Với mỗi cặp $x, y$ điểm của $V$ sao cho $xy \in V$ ,

f(xy) = f(x)f(y).

2) Nếu g là ánh xạ nghịch đảo của f, thì với mỗi cặp điểm x', y' của V' sao cho x'y' ∈ V', ta có g(x'y') = g(x') g(y'). Khi đó ánh xạ g là một đẳng cấu địa phương của G' với G. Hai nhóm tôpô G, G' được gọi là đẳng cấu địa phương nếu tồn tại một đẳng cấu địa phương của G với G'.

Các nhóm tôpô đẳng cấu hiển nhiên là đẳng cấu địa phương. Đảo lại là sai.

\* Chẳng hạn, ta sẽ thấy trong Chương V, § 1, rằng các nhóm tôpô R và T là đẳng cấu địa phương nhưng không đẳng cấu. \*

Nếu f là một đẳng cấu địa phương của G với G', thì mọi hạn chế của f lên một lân cận của phần tử đơn vị của G lại vẫn là một đẳng cấu địa phương của G với G'.

Một đẳng cấu địa phương của G với G được gọi là một tự đẳng cấu địa phương của G.

Nói chung, nếu f là một đồng phôi từ một lân cận V của phần tử đơn vị của G lên một lân cận V' của phần tử đơn vị của G' thỏa mãn điều kiện 1) của Định nghĩa 2, thì f không nhất thiết thỏa mãn điều kiện 2) (xem Bài tập 7). Tuy nhiên, G và G' thực ra là đẳng cấu địa phương.

Mệnh đề 3

Cho G và G' là hai nhóm tôpô, và cho f là một đồng phôi từ một lân cận V của phần tử đơn vị của G lên một lân cận V' của phần tử đơn vị của G', thỏa mãn điều kiện 1) của Định nghĩa 2. Khi đó f là một mở rộng của một đẳng cấu địa phương của G với G'.

Thật vậy, không khó để thấy rằng nếu W là một lân cận của phần tử đơn vị của G sao cho W.W ⊂ V, thì hạn chế của f lên W là một đẳng cấu địa phương của G với G'.

Bài tập

Xem bài tập cho § 1.