§ 1. Topologies de groupes

1. Groupes topologiques

Définition 1

On appelle groupe topologique un ensemble G muni d’une structure de groupe et d’une topologie satisfaisant aux deux axiomes suivants : (GT_I) L’application $(x, y) \mapsto xy$ de $G \times G$ dans $G$ est continue. (GT_{II}) L’application $x \mapsto x^{-1}$ de $G$ dans $G$ (symétrie du groupe $G$ ) est continue.

Une structure de groupe et une structure topologique étant données sur un ensemble $G$ , on dira qu’elles sont compatibles si elles satisfont à (GT_I) et (GT_{II}).

Exemple 1

Sur un groupe $G$ , la topologie discrète est compatible avec la structure du groupe ; un groupe topologique dont la topologie est discrète est appelé groupe discret. De même, la topologie la moins fine (I, p. 11) sur $G$ est compatible avec la structure de groupe de $G$ .

Exemple 2

Au chap. IV, on verra que la topologie de la droite rationnelle $\mathbf{Q}$ (resp. de la droite numérique $\mathbf{R}$ ) est compatible avec la structure de groupe additif de $\mathbf{Q}$ (resp. $\mathbf{R}$ ).

Exemple 3

Si $G$ est un groupe topologique, sa topologie est compatible avec la structure du groupe $G^0$ opposé à $G$ (A, I, p. 2g) ; on dit que $G^0$ , muni de cette topologie, est le groupe topologique opposé au groupe topologique $G$ .

Les axiomes (GT_I) et (GT_{II}) équivalent au suivant : (GT'). L’application $(x, y) \mapsto xy^{-1}$ de $G \times G$ dans $G$ est continue.

En effet, $(\mathrm{GT}_I)$ et $(\mathrm{GT}_II)$ entraînent évidemment $(\mathrm{GT}')$ . Réciproquement, $(\mathrm{GT}')$ entraîne $(\mathrm{GT}_II)$ , car $x \mapsto ex^{-1} = x^{-1}$ est alors continue, et $(\mathrm{GT}')$ et $(\mathrm{GT}_II)$ entraînent $(\mathrm{GT}_I)$ , car $(x, y) \mapsto x.(y^{-1})^{-1} = xy$ est alors continue.

Si $a$ est un élément quelconque de $G$ , la translation à gauche $x \mapsto ax$ (resp. la translation à droite $x \mapsto xa$ ) est continue d’après $(\mathrm{GT}_I)$ ; c’est par suite un homéomorphisme de $G$ sur lui-même. Les applications $x \mapsto axb$ (où $a$ et $b$ parcourent $G$ ) forment donc un groupe d’homéomorphismes de $G$ ; les applications $x \mapsto axa^{-1}$ (resp. $x \mapsto ax,\ x \mapsto xa$ ) où $a$ parcourt $G$ , un sous-groupe de ce groupe d’homéomorphismes. De même, comme la symétrie $x \mapsto x^{-1}$ est une permutation involutive de $G$ , $(\mathrm{GT}_II)$ montre que cette application est un homéomorphisme de $G$ sur lui-même.

Si $A$ est un ensemble ouvert (resp. fermé) dans $G$ , et $x$ un point quelconque de $G$ , les ensembles $x.A,\ A.x$ et $A^{-1}$ sont ouverts (resp. fermés)\footnote{On rappelle que, si $A$ et $B$ sont deux parties d’un groupe $G$ , $A.B$ ou $AB$ désigne l’ensemble des composés $xy$ , où $x$ parcourt $A$ et $y$ parcourt $B$ ; $A^{-1}$ désigne l’ensemble des éléments $x^{-1}$ , où $x$ parcourt $A$ . Si $B$ se réduit à un seul élément $x$ , on écrit $x.A$ ou $xA$ (resp. $A.x$ ou $Ax$ ) au lieu de $\{x\}.A$ (resp. $A.\{x\}$ ).}, car ils sont transformés de $A$ par un des homéomorphismes précédents. Si $A$ est ouvert et $B$ quelconque, $AB$ et $BA$ sont ouverts, comme réunions d’ensembles ouverts (axiome $(O_1)$ ). Si $V$ est un voisinage de $e$ dans $G$ , et $A$ une partie non vide quelconque de $G$ , $VA$ et $AV$ sont des voisinages de $A$ ; en effet, si $W$ est un voisinage ouvert de $e$ contenu dans $V$ , $WA$ et $AW$ sont ouverts et contiennent $A$ .

Par contre, $AB$ n’est pas nécessairement fermé lorsque $A$ est fermé, même si $B$ est fermé (cf. III, p. 28, cor. 1).

Par exemple, dans le groupe additif $\mathbf{R}$ de la droite numérique, le sous-groupe $\mathbf{Z}$ des entiers rationnels est fermé, et il en est de même du sous-groupe $\theta\mathbf{Z}$ formé des multiples entiers $n\theta$ d’un nombre irrationnel $\theta$ ; mais le sous-groupe $\mathbf{Z} + \theta\mathbf{Z}$ de $\mathbf{R}$ , qui est l’ensemble des nombres réels $m + n\theta$ (où $m$ et $n$ prennent toutes les valeurs entières) n’est pas fermé dans $\mathbf{R}$ , comme nous le verrons dans V, §1, no 1.

De même, considérons, dans le groupe additif $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ , l’ensemble $A$ des couples $(x, y)$ tels que $x \geq 0,\ 0 \leq y \leq 1 - \frac{1}{x+1}$ , et l’ensemble $B$ des couples $(x, 0)$ ( $x$ parcourant $\mathbf{R}$ ); ils sont fermés, mais $A + B$ est l’ensemble des couples $(x, y)$ tels que $0 \leq y < 1$ , et n’est pas fermé dans $\mathbf{R} \times \mathbf{R}.*$

Soient $E$ un espace topologique, $f$ et $g$ deux applications de $E$ dans un groupe topologique $G$ . Si $f$ et $g$ sont continues en un point $x_0 \in E$ , il en est de même\footnote{On rappelle que $f^{-1}$ est l’application $x \mapsto (f(x))^{-1}, fg$ l’application $x \mapsto f(x)g(x)$ ; on aura soin de ne pas confondre ces applications avec $f^{-1}$ et $f \circ g$ (lorsque ces dernières sont définies) (E, II, p. 17 et p. 16).} de $f^{-1}$ et $fg$ , d’après le théorème des fonctions composées (I, p. 10, th. 2); en particulier, les applications continues de $E$ dans $G$ forment un sous-groupe du groupe $G^E$ des applications de $E$ dans $G$ .

De même, soient $f$ et $g$ deux applications d’un ensemble $E$ filtré par un filtre $\mathfrak{F}$ , dans un groupe topologique séparé $G$ . Si $\lim_{\mathfrak{F}} f$ et $\lim_{\mathfrak{F}} g$ existent, il en est de même de $\lim_{\mathfrak{F}} f^{-1}$ et $\lim_{\mathfrak{F}} fg$ , et l’on a (I, p. 50, cor. 1) (1) $\lim_{\mathfrak{F}} f^{-1} = (\lim_{\mathfrak{F}} f)^{-1}$

(2) $\lim_{\mathfrak{F}} fg = (\lim_{\mathfrak{F}} f)(\lim_{\mathfrak{F}} g).$

Lorsque G est un groupe commutatif, noté additivement, l’axiome (GT’) exprime que $(x, y) \mapsto x - y$ est une application continue. Si $f$ et $g$ sont des applications d’un espace topologique E dans G, continues en $x_0$ , $f - g$ est donc continue en ce point. On transcrit de même les formules (1) et (2).

2. Voisinages d’un point dans un groupe topologique

Soit $\mathfrak{V}$ le filtre des voisinages de l’élément neutre $e$ dans un groupe topologique G, et soit $a$ un point quelconque de G; puisque $x \mapsto ax$ et $x \mapsto xa$ sont des homéomorphismes, le filtre des voisinages de $a$ est identique à la famille $a.\mathfrak{V}$ des ensembles $a.V$ , où V parcourt $\mathfrak{V}$ , et aussi à la famille $\mathfrak{V}.a$ des ensembles $V.a$ . On connaît donc le filtre des voisinages d’un point quelconque d’un groupe topologique quand on connaît le filtre des voisinages de l’élément neutre $e$ du groupe.

Si on exprime que $xy$ et $x^{-1}$ sont continues pour $x = y = e$ , on obtient (I, p. 8) les propriétés:

(GV_I) Quel que soit $U \in \mathfrak{V}$ , il existe $V \in \mathfrak{V}$ tel que $V.V \subset U$ .

(GV_{II}) Quel que soit $U \in \mathfrak{V}$ , on a $U^{-1} \in \mathfrak{V}$ .

Tout filtre $\mathfrak{V}$ sur G vérifiant (GV_I) et (GV_{II}) vérifie aussi (GV_a) Quel que soit $U \in \mathfrak{V}$ , il existe $V \in \mathfrak{V}$ tel que $V.V^{-1} \subset U$ . En effet, d’après (GV_I), il existe $W \in \mathfrak{V}$ tel que $W.W \subset U$ , et d’après (GV_{II}), il existe $V \in \mathfrak{V}$ tel que $V \subset W \cap W^{-1}$ , donc $V^{-1} \subset W$ et par suite

V.V^{-1} \subset W.W \subset U.

Inversement, si un filtre $\mathfrak{V}$ sur G vérifie (GV_a) on en déduit en premier lieu que $e$ appartient à tout ensemble $U \in \mathfrak{V}$ ; car si $V \in \mathfrak{V}$ est tel que $V.V^{-1} \subset U$ , comme V n’est pas vide, on a, pour tout $x \in V$ , $x.x^{-1} = e \in U$ . La condition (GV_a) entraîne alors que $V^{-1} \subset V.V^{-1} \subset U$ , ce qui prouve que $U^{-1} \in \mathfrak{V}$ pour tout $U \in \mathfrak{V}$ . Enfin si $V \in \mathfrak{V}$ est tel que $V.V^{-1} \subset U$ , et $W \in \mathfrak{V}$ est tel que $W \subset V \cap V^{-1}$ , on a $W.W \subset U$ . On voit donc finalement que (GV_a) est équivalent à la conjonction de (GV_I) et (GV_{II}).

Enfin, comme $x \mapsto axa^{-1}$ est un homéomorphisme conservant $e$ , $\mathfrak{V}$ possède la propriété suivante: (GV_{III}) Quels que soient $a \in G$ et $V \in \mathfrak{V}$ , $a.V.a^{-1} \in \mathfrak{V}$ .

Ces trois propriétés du filtre $\mathfrak{V}$ sont caractéristiques. De façon précise:

Proposition 1

Soient* G un groupe, et $\mathfrak{V}$ un filtre sur G satisfaisant aux axiomes (GV_I), (GV_{II}) et (GV_{III}). Il existe une topologie et une seule compatible avec la structure de groupe de G, et pour laquelle $\mathfrak{V}$ est le filtre des voisinages de l’élément neutre e. Pour cette topologie, le filtre des voisinages d’un point quelconque $a \in G$ est identique à chacun des deux filtres $a.\mathfrak{V}$ et $\mathfrak{V}.a$ .

S’il existe une topologie répondant à la question, le filtre des voisinages de $a$ est identique à chacun des deux filtres $a.\mathfrak{V}$ et $\mathfrak{V}.a$ d’après ce qui précède, ce qui montre l’unicité de cette topologie. Son existence sera établie si nous prouvons : 1° que les filtres $a.\mathfrak{V}$ sont les filtres de voisinages d’une topologie sur $G$ ; 2° que cette topologie est compatible avec la structure de groupe de $G$ .

1) Le filtre $a.\mathfrak{V}$ satisfait à l’axiome $(V_{\text{III}})$ (I, p. 3) d’après $(\mathrm{GV}_I)$ et $(\mathrm{GV}_{\text{II}})$ , comme on l’a vu ci-dessus; pour voir que c’est le filtre des voisinages de $a$ dans une topologie sur $G$ , il faut établir que l’axiome $(V_{\text{IV}})$ est vérifié. Soit donc $V$ un ensemble quelconque de $\mathfrak{V}$ , et $W$ un ensemble de $\mathfrak{V}$ tel que $W.W \subset V$ ; quel que soit $x \in a.W$ , on a $x.W \subset a.W.W \subset a.V$ , autrement dit, $a.V$ appartient au filtre $x.\mathfrak{V}$ , d’où $(V_{\text{IV}})$ .

2) Montrons maintenant que la topologie définie par les filtres de voisinages $a.\mathfrak{V}$ satisfait à $(\mathrm{GT}')$ . Soient $a$ et $b$ deux points quelconques de $G$ ; si on pose $x = au, y = bv$ , il faut prouver que $xy^{-1}$ est aussi voisin qu’on veut de $ab^{-1}$ dès que $u$ et $v$ sont assez voisins de $e$ . Or $(ab^{-1})^{-1}(xy^{-1}) = buv^{-1}b^{-1}$ ; donnons-nous arbitrairement un voisinage $U$ de $e$ ; on aura $buv^{-1}b^{-1} \in U$ si $uv^{-1} \in b^{-1}Ub = V$ , et $V$ appartient à $\mathfrak{V}$ d’après $(\mathrm{GV}_{\text{III}})$ ; mais d’après $(\mathrm{GV}_I)$ et $(\mathrm{GV}_{\text{II}})$ il existe $W \in \mathfrak{V}$ tel que $W.W^{-1} \subset V$ ; il suffira donc de prendre $u \in W,\ v \in W$ pour avoir $xy^{-1} \in (ab^{-1})U$ , ce qui achève la démonstration.

Un moyen fréquent de définir une topologie compatible avec une structure de groupe sur $G$ consistera à se donner un filtre satisfaisant aux axiomes $(\mathrm{GV}_I)$ , $(\mathrm{GV}_{\text{II}})$ et $(\mathrm{GV}_{\text{III}})$ ; les conditions correspondantes pour une base de filtre $\mathfrak{B}$ sont les suivantes :

$(\mathrm{GV}'_I)$ Quel que soit $U \in \mathfrak{B}$ , il existe $V \in \mathfrak{B}$ tel que $V.V \subset U$ . $(\mathrm{GV}'_{\text{II}})$ Quel que soit $U \in \mathfrak{B}$ , il existe $V \in \mathfrak{B}$ tel que $V^{-1} \subset U$ . $(\mathrm{GV}'_{\text{III}})$ Quels que soient $a \in G$ et $U \in \mathfrak{B}$ , il existe $V \in \mathfrak{B}$ tel que $V \subset a.U.a^{-1}$ .

Tout voisinage de $e$ identique à son image par la symétrie $x \mapsto x^{-1}$ est dit symétrique; si $V$ est un voisinage quelconque de $e$ , $V \cup V^{-1}, V \cap V^{-1}$ et $V.V^{-1}$ sont des voisinages symétriques; d’après $(\mathrm{GV}_{\text{II}})$ , les voisinages symétriques forment un système fondamental de voisinages de $e$ . De même, d’après $(\mathrm{GV}_I)$ , lorsque $V$ parcourt un système fondamental de voisinages de $e$ , les ensembles $V^n$ (n entier fixe $\neq 0$ ) forment un système fondamental de voisinages de $e$ .

Remarque

Lorsque $G$ est commutatif, on a $x.A.x^{-1} = A$ pour toute partie $A$ et tout élément $x$ de $G$ ; la condition $(\mathrm{GV}_{\text{III}})$ (resp. $(\mathrm{GV}'_{\text{III}})$ ) est automatiquement vérifiée pour tout filtre (resp. toute base de filtre) sur $G$ . Au contraire, si $G$ n’est pas commutatif, $(\mathrm{GV}_{\text{III}})$ n’est pas une conséquence de $(\mathrm{GV}_I)$ et $(\mathrm{GV}_{\text{II}})$ (voir III, p. 67, exerc. 5).

Pour un groupe commutatif $G$ , écrit additivement, les axiomes caractérisant le filtre $\mathfrak{V}$ des voisinages de l’origine dans une topologie compatible avec la structure de groupe de $G$ , sont donc les suivants :

$(\mathrm{GA}_I)$ Quel que soit $U \in \mathfrak{V}$ , il existe $V \in \mathfrak{V}$ tel que $V + V \subset U$ . $(\mathrm{GA}_{\text{II}})$ Quel que soit $U \in \mathfrak{V}$ , on a $-U \in \mathfrak{V}$ .

Proposition 2

Pour qu’un groupe topologique G soit séparé, il faut et il suffit que l’ensemble {e} soit fermé.

La condition est évidemment nécessaire; inversement, si elle est satisfaite, la diagonale Δ de G × G, image réciproque de l’ensemble {e} par l’application continue (x, y) ↦ xy⁻¹, est un ensemble fermé, donc (I, p. 52, prop. 1) G est séparé.

Corollaire

Pour qu’un groupe topologique G soit séparé, il faut et il suffit que l’intersection des voisinages de e se réduise au point e.

La condition est évidemment nécessaire; inversement, si elle est satisfaite, l’ensemble {e} est fermé: en effet, si x ≠ e, il existe un voisinage V de e tel que x⁻¹ ∉ V, donc e ∉ xV, ce qui montre que x ne peut être adhérent à {e}.

Exemple

Définition d’une topologie de groupe par un ensemble de sous-groupes.

Si $\mathscr{S}$ est une base de filtre sur un groupe G, formée de sous-groupes de G, il est immédiat qu’elle satisfait aux axiomes (GV₁) et (GV₂), car pour tout sous-groupe H de G, H.H⁻¹ = H. La base de filtre $\mathscr{S}$ sera donc un système fondamental de voisinages de e dans une topologie compatible avec la structure de groupe de G, pourvu qu’elle satisfasse à (GV₃) (condition qui sera remplie en particulier si tous les sous-groupes de $\mathscr{S}$ sont distingués, ce qui sera toujours le cas si G est commutatif). Pour que la topologie ainsi définie soit séparée, il faut et il suffit, d’après la prop. 2, que l’intersection des sous-groupes appartenant à $\mathscr{S}$ se réduise à e. Les cas les plus intéressants sont ceux où le sous-groupe {e} n’appartient pas à $\mathscr{S}$ (sinon la topologie définie par $\mathscr{S}$ est la topologie discrète); si cette condition est remplie, la topologie définie par $\mathscr{S}$ ne peut être séparée que si $\mathscr{S}$ est un ensemble infini.

L’intersection de deux sous-groupes étant un sous-groupe, on peut définir une topologie de groupe sur G à partir d’un ensemble quelconque $\mathfrak{G}$ de sous-groupes de G; il suffit de considérer l’ensemble $\mathfrak{G}$ des sous-groupes a.H.a⁻¹, où H parcourt $\mathfrak{G}$ et a parcourt G, puis l’ensemble $\mathscr{S}$ des intersections finies de sous-groupes appartenant à $\mathfrak{G}$ ; $\mathscr{S}$ est une base de filtre, et satisfait à (GV₃).

En particulier, considérons le groupe additif d’un anneau A; tout ensemble $\mathfrak{G}$ d’idéaux de A (A, I, p. 98) définit une topologie compatible avec la structure de ce groupe additif; cette topologie est séparée si l’intersection des idéaux de $\mathfrak{G}$ est l’idéal nul; elle est distincte de la topologie discrète si aucune intersection finie d’idéaux de $\mathfrak{G}$ n’est l’idéal nul. Les topologies définies de cette manière jouent un grand rôle en Théorie des nombres (voir les exerc. des §§ 6 et 7 de ce chapitre).

3. Isomorphismes et isomorphismes locaux

Conformément aux définitions générales (E, IV, p. 6) un isomorphisme f d’un groupe topologique G sur un groupe topologique G’ est une application bijective de G sur G’ qui est à la fois un isomorphisme de la structure de groupe de G sur celle de G’, et un homéomorphisme de G sur G’. Autrement dit, pour que f soit un isomorphisme de G sur G’, il faut et il suffit que: 1° f soit bijective; 2° quels que soient les points x, y de G, f(xy) = f(x)f(y); 3° f soit bicontinue.

Par exemple, si a est un point quelconque de G, l’application x ↦ axa⁻¹ est un isomorphisme de G sur G, c’est-à-dire (loc. cit.) un automorphisme du groupe topologique G, qu’on appelle automorphisme intérieur.

Si une topologie $\mathscr{T}$ est compatible avec la structure de groupe d’un groupe $G$ , et si $G^0$ désigne le groupe topologique obtenu en munissant le groupe opposé de $G$ de la topologie $\mathscr{T}$ , la symétrie $x \mapsto x^{-1}$ est un isomorphisme du groupe topologique $G$ sur le groupe topologique $G^0$ .

Définition 2

Étant donnés deux groupes topologiques* $G, G'$ , on appelle isomorphisme local de $G$ à $G'$ un homéomorphisme $f$ d’un voisinage $V$ de l’élément neutre de $G$ sur un voisinage $V'$ de l’élément neutre de $G'$ , satisfaisant aux conditions suivantes:

$1^\circ$ Pour tout couple de points $x, y$ de $V$ tels que $xy \in V, f(xy) = f(x)f(y)$ .

$2^\circ$ Si $g$ est l’application réciproque de $f$ , pour tout couple de points $x', y'$ de $V'$ tels que $x'y' \in V'$ , $g(x'y') = g(x')g(y')$ .

L’application* $g$ est alors un isomorphisme local de $G'$ à $G$ .

On dit que deux groupes topologiques* $G, G'$ sont localement isomorphes s’il existe un isomorphisme local de $G$ à $G'$ .

Deux groupes topologiques isomorphes sont évidemment localement isomorphes; la réciproque est inexacte.

Par exemple, nous verrons (V, §1, n° 4), que les groupes topologiques* $\mathbf{R}$ et $\mathbf{T}$ *sont localement isomorphes, mais non isomorphes.

Toute restriction à un voisinage de l’élément neutre de $G$ d’un isomorphisme local $f$ de $G$ à $G'$ , est encore un isomorphisme local de $G$ à $G'$ .

Un isomorphisme local de $G$ à $G$ s’appelle encore automorphisme local de $G$ .

En général, si $f$ est un homéomorphisme d’un voisinage $V$ de l’élément neutre de $G$ sur un voisinage $V'$ de l’élément neutre de $G'$ , satisfaisant à la condition $1^\circ$ de la déf. 2, il ne satisfait pas nécessairement à la condition $2^\circ$ (voir III, p. 67, exerc. 7). Toutefois, $G$ et $G'$ sont alors localement isomorphes; de façon précise:

Proposition 3

Soient* $G$ et $G'$ deux groupes topologiques, et $f$ un homéomorphisme d’un voisinage $V$ de l’élément neutre de $G$ sur un voisinage $V'$ de l’élément neutre de $G'$ , satisfaisant à la condition $1^\circ$ de la définition $2$ ; $f$ est alors un prolongement d’un isomorphisme local de $G$ à $G'$ .

En effet, on voit sans peine que, si $W$ est un voisinage de l’élément neutre de $G$ tel que $W.W \subset V$ , la restriction de $f$ à $W$ est un isomorphisme local de $G$ à $G'$ .

Exercices

See the exercises for § 1.