En effet, si a et b sont adhérents à H, $ab^{-1}$ est adhérent à H, puisque l’application $(x, y) \mapsto xy^{-1}$ est continue dans $G \times G$, et transforme $H \times H$ en H (I, p. 9, th. 1). De la même manière, en vertu de la continuité de l’application $x \mapsto axa^{-1}$, on voit que si H est un sous-groupe distingué, il en est de même de $\overline{H}$.

En particulier, l’adhérence N de l’ensemble $\{e\}$ réduit à l’élément neutre de G, est un sous-groupe distingué de G; pour qu’il se réduise à e, il faut et il suffit (III, p. 5, prop. 2) que G soit séparé.

On peut se borner au cas où H est partout dense dans G, en vertu de la prop. 1; les fonctions continues $xy$ et $yx$, étant égales dans $H \times H$, le sont alors aussi dans $G \times G$, en vertu du principe de prolongement des identités (I, p. 53, cor. 1).

En effet, M’ est l’intersection des ensembles $F_m$ des $x \in G$ tels que $xm = mx$, lorsque m parcourt M; la proposition résulte de ce que les $F_m$ sont fermés (I, p. 53, prop. 2).

Par translation, H est localement fermé en chacun de ses points, autrement dit H est localement fermé dans G. Soit V un voisinage ouvert symétrique de e dans G tel que $V \cap H$ soit fermé dans V. Si $x \in \overline{H}$, on a $xV \cap H \neq \varnothing$; si $y \in xV \cap H$, on a $x \in yV$, et $y(V \cap H) = (yV) \cap H$ est fermé dans $yV$; comme x est adhérent à $(yV) \cap H$, on a bien $x \in H$.

La première partie est immédiate, car si un sous-groupe H a un point intérieur, on voit par translation que tous ses points sont intérieurs. La seconde assertion est un cas particulier de la prop. 4.

Si H a un point isolé, on voit par translation que tous ses points sont isolés, donc H est discret. La seconde assertion est un cas particulier de la prop. 4, car si G est séparé, {e} est fermé dans G et a fortiori dans tout voisinage de e.

Soit $M'$ l’ensemble $M \cup M^{-1}$; il est connexe, puisque $M^{-1}$, image de M par l’application continue $x \mapsto x^{-1}$, est connexe (I, p. 82, prop. 4); comme M et $M^{-1}$ contiennent e, $M'$ est connexe (I, p. 81, prop. 2). Les groupe H est alors réunion des ensembles ${M'}^n$ pour les entiers $n \geqslant 1$ (A, I, p. 32, prop. 2 et p. 7, prop. 2); or ${M'}^n$ est l’image de la partie $M' \times M' \times \cdots \times M'$ (n fois) de $G \times G \times \cdots \times G$ par l’application continue $(x_1, x_2, \ldots, x_n) \mapsto x_1 x_2 \ldots x_n$; donc ${M'}^n$ est connexe (I, p. 83, prop. 8, et p. 82, prop. 4); comme e appartient à tous les ${M'}^n$, H est connexe (I, p. 81, prop. 2).

En effet, l’ensemble C des commutateurs est l’image de $G \times G$ par l’application continue $(x, y) \mapsto xyx^{-1}y^{-1}$, donc est connexe (I, p. 83, prop. 8 et p. 82, prop. 4); comme C contient évidemment e et engendre le groupe des commutateurs, cela prouve le corollaire.

En effet, si $a \in K$, $a^{-1}K$ est connexe et contient $e$; donc on a $K^{-1}K \subset K$, ce qui prouve que $K$ est un sous-groupe de $G$; ce sous-groupe est invariant par tout automorphisme de $G$, en particulier par tout automorphisme intérieur, donc $K$ est distingué; on sait en outre que $K$ est fermé (I, p. 84, prop. 9). Enfin, la translation à gauche $y \mapsto xy$ étant un homéomorphisme de $G$ qui transforme $e$ en $x$, la composante connexe de $x$ est $x.K$.

On dit que la composante connexe de l’élément neutre $e$ de $G$ est la composante neutre de $G$.

(ii) Soit $H$ un sous-groupe partout dense d’un groupe topologique $G$; si $H$ est engendré par chacun des voisinages de l’élément neutre dans $H$, $G$ est engendré par chacun des voisinages de l’élément neutre dans $G$.

(i) L’application $(z, x) \mapsto zxz^{-1}$ est continue dans $G \times G$, et applique $H \times K$ dans $K$; donc (I, p. 9, th. 1), elle applique $G \times \overline{K} = \overline{H} \times \overline{K}$ dans $\overline{K}$.

(ii) Soit $V$ un voisinage symétrique quelconque de $e$ dans $G$; $V \cap H$ est un voisinage de l’élément neutre dans $H$, donc engendre $H$; par suite, $V$ engendre un sous-groupe $H'$ contenant $H$; mais $H'$ est ouvert et fermé (III, p. 7, corollaire), donc contient $\overline{H} = G$.

En effet, cette application est une bijection continue dont la bijection réciproque $x \mapsto s^{-1}.x$ est aussi continue.

Rappelons (A, I, p. 54) que, pour tout $x \in E$, l’ensemble $G.x$ des transformés $s.x$ de $x$ par les éléments $s \in G$ est appelé l’orbite de $x$ (pour le groupe d’opérateurs $G$) ; l’ensemble des $s \in G$ tels que $s.x = x$ est un sous-groupe de $G$, appelé stabilisateur de $x$ (A, I, p. 52). La relation $R \{x, y\} : « y$ appartient à l’orbite de $x$ » est une relation d’équivalence dans $E$, dite définie par $G$; les classes d’équivalence pour cette relation sont les orbites des points de $E$. L’espace topologique $E/R$ est appelé l’espace des orbites du groupe $G$ dans $E$, ou encore l’espace quotient de $E$ par le groupe $G$, et on le note $E/G$; on dit aussi que la topologie de $E/G$ est la topologie quotient de celle de $E$ par $G$.

En effet, le saturé pour $R$ d’une partie ouverte $U$ de $E$ est l’ensemble $\bigcup_{s \in G} s.U$, et chacun des $s.U$ est ouvert (lemme 1).

Soit maintenant S une relation d’équivalence dans E telle que, pour tout s ∈ G, l’application x ↦ s.x soit compatible avec S (autrement dit, telle que la relation x ≡ y (mod. S) entraîne s.x ≡ s.y (mod. S)); nous dirons pour abréger que la relation S est compatible avec le groupe G. Si ψ est l’application canonique de E sur E/S, et si on désigne par s.ψ(x) la classe mod. S de s.x, le groupe G opère dans l’espace E/S par (s, ψ(x)) ↦ s.ψ(x) = ψ(s.x). En outre:

Comme la relation d’égalité (resp. la relation S) est ouverte dans G (resp. dans E), tout revient à démontrer que l’application (s, x) ↦ s.ψ(x) = ψ(s.x) de G × E dans E/S est continue (I, p. 34, cor. de la prop. 8); or cela résulte du fait que ψ et (s, x) ↦ s.x sont continues.

Comme la relation d’équivalence $x^{-1}y \in H$ est ouverte (III, p. 10, lemme 2), cet énoncé est un cas particulier de la prop. 11 de III, p. 11.

La condition est nécessaire, H étant une classe d’équivalence suivant la relation $x^{-1}y \in H$; inversement, si H est fermé, le graphe de cette relation est fermé dans $G \times G$, étant l’image réciproque de H par l’application continue $(x, y) \mapsto x^{-1}y$. Comme la relation d’équivalence $x^{-1}y \in H$ est ouverte, G/H est séparé (I, p. 55, prop. 8).

En effet, les images réciproques dans G des points de G/H par l’application canonique sont les classes $xH$ ($x \in G$); pour que ces ensembles soient ouverts dans G, il faut et il suffit que H soit ouvert dans G.

Soit E un espace topologique non vide dans lequel un groupe topologique G opère continûment et transitivement; E est alors (au sens algébrique) un G-ensemble homogène (A, I, p. 56). Soient $x$ un point de E, $H_x$ son stabilisateur. La surjection continue $s \mapsto s.x$ de G sur E se factorise canoniquement en

où $f_x$ est l’application canonique de G sur l’espace homogène $G/H_x$, et $g_x$ la bijection $s.H_x \mapsto s.x$ de $G/H_x$ sur E; on sait en outre (I, p. 21, prop. 6) que $g_x$ est une application continue. Mais $g_x$ n’est pas nécessairement un homéomorphisme de $G/H_x$ sur E (III, p. 72, exerc. 29). Lorsque, pour tout $x \in E$, $g_x$ est un homéomorphisme, on dit que E est un espace homogène topologique (correspondant au groupe topologique G); pour cela, il est nécessaire et suffisant que, pour tout $x \in E$, l’application $s \mapsto s.x$ de G dans E soit ouverte.

En effet, tout $x \in E$ s’écrit $x = t.x_0$ pour un $t \in G$; si V est un voisinage de e, $V.x = (Vt).x_0$ est un voisinage de $x$, car on peut écrire $(Vt).x_0 = t.((t^{-1}Vt).x_0)$ et la conclusion résulte de ce que $t^{-1}Vt$ est un voisinage de e dans G, et $y \mapsto t.y$ un homéomorphisme de E sur lui-même (III, p. 9, lemme 1). On en déduit que pour tout ensemble ouvert U dans G, et tout $x \in E$, $U.x$ est ouvert dans E; en effet, pour tout $t \in U$, $t^{-1}U$ est un voisinage de e, donc $(t^{-1}U).x$ est un voisinage de $x$, et $t.((t^{-1}U).x) = U.x$ est un voisinage de $t.x$, d’où notre assertion, qui achève de démontrer la proposition.

Si $x \mapsto \dot{x}$ est l’application canonique de $G$ sur $G/H$, il faut prouver que $(\dot{x}, \dot{y}) \mapsto \dot{x}\dot{y}^{-1}$ est une application continue de $(G/H) \times (G/H)$ dans $G/H$. Comme la relation d’équivalence $x^{-1}y \in H$ est ouverte (III, p. 10, lemme 2), il suffit de montrer que $(x, y) \mapsto \dot{x}\dot{y}^{-1}$ est une application continue de $G \times G$ dans $G/H$ (I, p. 34, cor. de la prop. 8 et I, p. 21, prop. 6). Mais cela résulte de ce que cette application est composée des applications continues $x \mapsto \dot{x}$ et $(x, y) \mapsto xy^{-1}$.

Lorsque nous parlerons désormais d’un groupe quotient $G/H$ d’un groupe topologique $G$ comme d’un groupe topologique, il faudra toujours entendre, sauf mention expresse du contraire, que sa topologie est la topologie quotient de celle de $G$ par $H$.

C’est un cas particulier de la prop. 5 de I, p. 33.

Les prop. 13 et 14 (III, p. 12) donnent en particulier, pour les groupes quotients:

Si $G$ est un groupe topologique, et $N$ l’adhérence de $\{e\}$ dans $G$, $N$ est un sous-groupe distingué fermé de $G$ (III, p. 7, prop. 1), donc $G/N$ est séparé; on dit que $G/N$ est le groupe séparé associé à $G$.

En effet, soit $V$ un voisinage de $e$ dans $G$, ne contenant aucun point de $H$ autre que $e$, et soit $W$ un voisinage ouvert symétrique de $e$ dans $G$ tel que $W^2 \subset V$. La restriction à $W$ de l’application canonique $\varphi$ de $G$ sur $G/H$ est injective: en effet, la relation $\varphi(x) = \varphi(y)$ signifie que $x^{-1}y \in H$, et si $x \in W, y \in W$, on a $x^{-1}y \in W^2 \subset V$, d’où $x = y$. D’après la prop. 17, la restriction de $\varphi$ à $W$ est donc un homéomorphisme de $W$ sur $\varphi(W)$; comme en outre $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$ quels que soient $x, y$ dans $W$, $G$ et $G/H$ sont localement isomorphes (III, p. 6, prop. 3).

Cela résulte des remarques qui précèdent, et de la prop. 10 de III, p. 11.

La bijection canonique de A/(A ∩ H) sur φ(A) est un homomorphisme continu, puisqu’elle provient par passage au quotient de la restriction de φ à A, mais en général les groupes topologiques A/(A ∩ H) et AH/H ne sont pas isomorphes (cf. III, p. 27, cor. 3).

Par exemple, prenons pour G le groupe additif \mathbf{R} des nombres réels, pour H le groupe \mathbf{Z} des entiers, pour A le groupe θ\mathbf{Z} des multiples entiers d’un nombre irrationnel θ; on a A ∩ H = {0}, donc A/(A ∩ H) est un groupe discret, isomorphe à \mathbf{Z}; au contraire, A + H est partout dense dans \mathbf{R} (comme on le verra dans V, §1, prop. 1), donc (A + H)/H, qui est localement isomorphe à A + H (III, p. 13, prop. 19), n’est pas un groupe discret, et par suite n’est pas isomorphe à A/(A ∩ H).

On a toutefois la proposition suivante:

Comme H_0 = H ∩ G_0, tout revient à prouver que si U_0 est un ensemble ouvert dans G_0, saturé pour la relation x^{-1}y ∈ H_0, il est la trace sur G_0 d’un ensemble ouvert dans G, saturé pour la relation x^{-1}y ∈ H (I, p. 23, prop. 10). Soit U un ensemble ouvert dans G tel que U_0 = U ∩ G_0; comme U_0 = U_0H_0, on vérifie aussitôt que l’on a U_0 = UH_0 ∩ G_0; comme UH_0 est ouvert dans G, on peut donc supposer que U = UH_0. Cela étant, l’ensemble UH est ouvert dans G et saturé pour la relation x^{-1}y ∈ H; montrons que UH ∩ G_0 = U_0, ce qui achèvera la démonstration. Or, si u ∈ U, h ∈ H sont tels que uh ∈ G_0, il y a un voisinage symétrique V de e dans G tel que uV ⊂ U; comme Vh est un voisinage de h dans G, il existe z ∈ V tel que zh ∈ H_0; mais alors uz^{-1} ∈ U et on a uh = (uz^{-1})(zh). On peut donc supposer que h ∈ H_0, et comme UH_0 = U, on a uh ∈ U_0.

Soit G un groupe topologique opérant continûment dans un espace topologique E, et soit K un sous-groupe distingué de G, contenu dans le stabilisateur de chacun des points de E. Pour tout x ∈ E, la relation s ≡ t (mod. K) entraîne donc s.x = t.x, et par passage au quotient on en déduit une application s ↦ s.x de G/K dans E; on vérifie immédiatement que pour la loi externe ainsi définie (s, x) ↦ s.x, G/K opère dans E. En outre, G/K opère continûment dans E pour cette loi: en effet, comme la relation d’égalité dans E et la relation s ≡ t (mod. K) dans G sont ouvertes, cela résulte de la continuité de l’application (s, x) ↦ s.x = s.x de G × E dans E (I, p. 34, cor. de la prop. 8 et I, p. 21, prop. 6).

Soient maintenant G un groupe topologique opérant continûment dans un espace topologique E, H un sous-groupe quelconque de G. Le groupe H opère continûment dans E; soit S la relation d’équivalence dans E définie par H, qui est ouverte (III, p. 10, lemme 2). La relation S est compatible avec le groupe G (III, p. 11); en effet, si y ≡ x (mod. S), il existe t ∈ H tel que y = t.x, d’où, pour tout s ∈ G, s.y = (sts^{-1}).(s.x), et comme H est distingué, sts^{-1} ∈ H, d’où notre assertion. Si ψ est l’application canonique de E sur E/S, le groupe G opère donc continûment dans E/S pour la loi externe (s, ψ(x)) ↦ ψ(s.x) (III, p. 11, prop. 11). En outre, le groupe H est contenu dans le stabilisateur de chacun des points de E/S; comme on l’a vu ci-dessus, G/H opère continûment dans E/S = E/H, pour la loi externe (s, ψ(x)) ↦ ψ(s.x). Si on désigne par R la relation d’équivalence dans E définie par G, la relation S entraîne R, et la relation d’équivalence R/S dans E/S est la relation définie par le groupe G/H. Par suite (I, p. 21, prop. 7):

On sait déjà (A, I, p. 39) que cette bijection est un isomorphisme de groupes, et la prop. 22 (appliquée au groupe K opérant à droite dans G) achève d’établir le corollaire.

La condition est évidemment nécessaire. Réciproquement, si f est continu au point a ∈ G et si V' est un voisinage de f(a), f^{-1}(V') = V est un voisinage de a; pour tout x ∈ G, on a f(xa^{-1}V) = f(x)(f(a))^{-1}f(V) ⊂ f(x)(f(a))^{-1}V', ce qui établit la continuité de f au point x.

Un homomorphisme continu d’un groupe topologique G dans un groupe topologique G' est encore appelé un morphisme de G dans G' pour les structures de groupe topologique (cf. E, IV, p. 11).

Soit f un homomorphisme continu d’un groupe topologique G dans un groupe topologique G'; l’image réciproque H = $\overline{f}(e')$ de l’élément neutre e' de G' est un sous-groupe distingué de G et $f(G)$ est un sous-groupe de G'. Considérons la factorisation canonique $f = \psi \circ \dot{f} \circ \varphi$, où $\varphi$ est l’application canonique $G \to G/H$, $\psi$ l’injection canonique $f(G) \to G'$, et enfin $\dot{f}$ un homomorphisme continu bijectif du groupe quotient G/H sur le sous-groupe $f(G)$ (I, p. 22); on dira que $\dot{f}$ est l’homomorphisme bijectif associé à f. En général, $\dot{f}$ n’est pas un isomorphisme de groupes topologiques.

Par exemple, soient G' un groupe topologique non discret, G le groupe topologique obtenu en munissant G' de la topologie discrète; l’application identique de G dans G' est un homomorphisme bijectif continu, mais non bicontinu.

Compte tenu du lemme 2 de III, p. 10, l’équivalence de a) et b) résulte aussitôt des définitions (I, p. 33, prop. 5). L’équivalence de b) et c) est un cas particulier de la prop. 15 de III, p. 12, si l’on observe que G opère continûment dans $f(G)$ par la loi externe $(s, f(t)) \mapsto f(st)$.

C’est un cas particulier de I, p. 28, prop. 8.

Soit $(E_i)_{i \in I}$ une famille d’espaces topologiques, et pour chaque $i \in I$, soit $G_i$ un groupe topologique opérant continûment dans $E_i$. Il est clair que le groupe produit $G = \prod_{i \in I} G_i$ opère continûment dans l’espace produit $E = \prod_{i \in I} E_i$ pour la loi externe $((s_i), (x_i)) \mapsto (s_i \cdot x_i)$ (I, p. 25, cor. 1 et prop. 2); en outre l’orbite pour $G$ d’un point $x = (x_i)$ de $E$ est le produit des orbites des $x_i$ (pour les $G_i$). Soit $\varphi_i$ l’application canonique de $E_i$ sur $E_i / G_i$, et soit $\varphi = (\varphi_i)$ l’application produit de $E$ sur $\prod_{i \in I} (E_i / G_i)$; la remarque précédente montre que la bijection canoniquement associée à $\varphi$ applique l’espace des orbites $E/G$ sur $\prod_{i \in I} (E_i / G_i)$. En outre:

En effet, comme les $\varphi_i$ sont surjectives et ouvertes, $\varphi = (\varphi_i)$ est ouverte (I, p. 34, cor. de la prop. 8).

En effet, cet homomorphisme est un isomorphisme pour les structures de groupe.

$2^\circ$ Soient $f : N \to G,\ g : L \to G$ deux homomorphismes continus dans un groupe topologique $G$, vérifiant la relation $f(\sigma_y(x)) = g(y)f(x)g(y^{-1})$; alors l’homomorphisme associé : $(x, y) \mapsto f(x)g(y)$ de $S$ dans $G$ est continue.

La proposition résulte aussitôt des définitions et des propriétés de la topologie produit.

On dit que le groupe topologique $S$ ainsi défini est le produit semi-direct topologique externe de $N$ et de $L$ (relatif à $\sigma$); on observera que la condition imposée à $\sigma$ implique que $L$ opère continûment à gauche dans $N$ pour la loi externe $(x, y) \mapsto \sigma_y(x)$ (III, p. 10).

Soient maintenant $G$ un groupe topologique, $N, L$ deux sous-groupes de $G$ tels que $G$ soit, en tant que groupe non muni d’une topologie, le produit semi-direct de $N$ et de $L$ (A, I, p. 65); il est clair alors que l’application $(x, y) \mapsto \sigma_y(x)$ est continue dans $N \times L$, et l’homomorphisme canonique bijectif $h : (x, y) \mapsto xy$ de $S$ dans $G$ continu. Mais ce dernier homomorphisme n’est pas nécessairement bicontinu; lorsqu’il est bicontinu, on dit que $G$ est produit semi-direct topologique de $N$ et de $L$. Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que, si $p : G \to N,\ q : G \to L$ sont les applications faisant correspondre à $z \in G$ les éléments uniques $p(z) \in N,\ q(z) \in L$ tels que $z = p(z)q(z)$, l’une des applications $p,\ q$ soit continue (auquel cas toutes deux le sont). Il revient au même de dire que la restriction à $L$ de l’application canonique $G \to G/N$ est un isomorphisme du groupe topologique $L$ sur le groupe topologique $G/N$.