Pour les translations à droite, c’est immédiat, car la relation $yx^{-1} \in V$ est équivalente à $(ya)(xa)^{-1} \in V$ (en d’autres termes, l’application $(x, y) \mapsto (xa, ya)$ laisse $V_d$ invariant). Pour les translations à gauche, cela résulte de $(\mathrm{GV}_{\mathrm{III}})$; en effet, la relation $yx^{-1} \in V$ est équivalente à $(ay)(ax)^{-1} \in aV_a^{-1}$, donc $x \mapsto ax$ est uniformément continue dans $G_d$.

On voit de même que les translations à droite et à gauche sont des isomorphismes de la structure uniforme gauche sur elle-même.

Tout automorphisme intérieur $x \mapsto axa^{-1}$ de G est donc à la fois un automorphisme de la structure de groupe, de la topologie, et de chacune des deux structures uniformes de G.

C’est une conséquence immédiate de la déf. 1 (III, p. 19).

Il faut se garder de croire que l’application $(x, y) \mapsto xy$ de l’espace uniforme $G_d \times G_d$ dans l’espace uniforme $G_d$ soit en général uniformément continue. De même, la symétrie $x \mapsto x^{-1}$, considérée comme application de $G_d$ sur $G_d$, n’est pas en général uniformément continue (voir III, p. 73, exerc. 3 et 4).

En effet, si V' est un voisinage de l’élément neutre dans G', et $V = f^{-1}(V')$, la relation $yx^{-1} \in V$ entraîne $f(y)(f(x))^{-1} = f(yx^{-1}) \in V'$.

Supposons par exemple V complet pour la structure uniforme droite et soit F un filtre de Cauchy sur G_d ; F contient un ensemble M petit d’ordre V_d, et si x_1 ∈ M, on a donc M ⊂ Vx_1 ; la trace de F sur le sous-space complet Vx_1 de G_d est donc un filtre de Cauchy qui converge vers un point x_0 ; comme x_0 est adhérent à F, il est point limite de F (II, p. 14, cor. 2 de la prop. 5).

En effet, tout espace compact est complet pour son unique structure uniforme (II, p. 27, th. 1).

En effet, tout sous-espace complet d’un espace uniforme séparé est fermé (II, p. 16, prop. 8).

En effet, u est uniformément continu pour les structures uniformes droites de H_1 et H_2 (III, p. 21, prop. 3), donc se prolonge d’une seule manière en une application ū de G_1 dans G_2, uniformément continue pour les structures uniformes droites de ces groupes (II, p. 20, th. 2). En outre, en vertu du principe de prolongement des identités (I, p. 53, cor. 1), ū est un homomorphisme de G_1 dans G_2, d’où la première assertion. Pour démontrer la seconde, il suffit de considérer l’isomorphisme v de H_2 sur H_1 réciproque de u, et son prolongement ū en un homomorphisme continu de G_2 dans G_1 ; en vertu de l’unicité du prolongement, $\bar{v} \circ \bar{u}$ et $\bar{u} \circ \bar{v}$ sont respectivement l’identité dans $G_1$ et dans $G_2$, donc (E, II, p. 18) $\bar{u}$ est bijective.

Évaluons la « proximité » de $xy$ et $x'y'$ dans $G_d$, autrement dit, formons le produit $(x'y')(xy)^{-1} = x'y'y^{-1}x^{-1}$; pour tout $a \in G$, on peut encore écrire $(x'y')(xy)^{-1} = (x'a^{-1})(ay'y^{-1}a^{-1})(ax^{-1})$; nous allons voir qu’en choisissant convenablement $a$, chacun des trois facteurs de ce produit est très petit dès que les couples $(x, y)$ et $(x', y')$ appartiennent tous deux à un même ensemble assez petit de $\mathfrak{F} \times \mathfrak{G}$. En effet, voit V un voisinage quelconque de $e$ dans G; il existe un ensemble $A \in \mathfrak{F}$, petit d’ordre $V_d$; prenons pour $a$ un point de A; si $x$ et $x'$ sont deux points quelconques de A, on a $x'a^{-1} \in V$ et $ax^{-1} \in V$. D’autre part, la relation $ay'y^{-1}a^{-1} \in V$ équivaut à $y'y^{-1} \in a^{-1}Va = W$; comme W est un voisinage de $e$, il existe un ensemble $B \in \mathfrak{G}$, petit d’ordre $W_d$; donc, quels que soient $(x, y)$ et $(x', y')$ dans $A \times B$, on a $(x'y')(xy)^{-1} \in V^3$, ce qui démontre la proposition.

Pour qu’on puisse prolonger $x^{-1}$ par continuité à $\hat{G}_d$, il faut et il suffit que l’image, par la symétrie $x \mapsto x^{-1}$, d’un filtre de Cauchy sur $G_d$ soit un filtre de Cauchy sur

G_d (II, p. 20, prop. 11). On peut donner des exemples de groupes topologiques G pour lesquels cette condition n’est pas vérifiée (cf. X, § 3, exerc. 16); nous supposerons qu’elle est vérifiée dans la suite de ce raisonnement.

2) Les fonctions xy et x^{-1} prolongées, définissent une structure de groupe sur $\hat{G}_d$. — En effet, si on applique le principe de prolongement des identités (I, p. 53, cor. 1) aux fonctions x(yz) et (xy)z définies dans $\hat{G}_d \times \hat{G}_d \times \hat{G}_d$, et égales dans le sous-espace partout dense $G_d \times G_d \times G_d$, on voit que la loi de composition $(x, y) \mapsto xy$ est associative dans $\hat{G}_d$. Pour la même raison, les fonctions $x, ex, xe$ sont identiques dans $\hat{G}_d$, et les fonctions $e, xx^{-1}, x^{-1}x$ sont identiques dans $\hat{G}_d$.

3) Le groupe topologique $\hat{G}_d$ est complet. — En effet, soit $\mathfrak{U}_d$ sa structure uniforme droite, et soit $\mathfrak{U}$ la structure uniforme obtenue sur $\hat{G}_d$ par complétion de la structure uniforme droite de G. Les structures $\mathfrak{U}$ et $\mathfrak{U}_d$ induisent la même structure uniforme sur G; toute base de filtre de Cauchy $\mathfrak{B}$ sur G pour la structure $\mathfrak{U}_d$ est donc une base de filtre de Cauchy pour la structure $\mathfrak{U}$. Or, $\mathfrak{B}$ converge dans $\hat{G}_d$, puisque $\mathfrak{U}$ est une structure d’espace complet; comme les topologies sur $\hat{G}_d$ déduites de $\mathfrak{U}$ et $\mathfrak{U}_d$ sont identiques (la topologie déduite de $\mathfrak{U}$ étant compatible avec la structure de groupe de $\hat{G}_d$ en vertu de 2)), on voit (II, p. 17, prop. 9) que $\mathfrak{U}_d$ est une structure d’espace complet. Cette conclusion montre d’ailleurs que $\mathfrak{U}$ et $\mathfrak{U}_d$ sont identiques (II, p. 20, corollaire).

4) Unicité. — Elle résulte de la prop. 5 de III, p. 22.

En résumé, nous avons démontré le théorème suivant: Théorème 1. — Pour qu’un groupe topologique séparé G soit isomorphe à un sous-groupe partout dense d’un groupe complet $\hat{G}$, il faut et il suffit que l’image, par la symétrie $x \mapsto x^{-1}$, d’un filtre de Cauchy pour la structure uniforme droite de G soit encore un filtre de Cauchy pour cette structure. Le groupe complet $\hat{G}$ (qu’on appelle le groupe complété de G) est alors unique (à un isomorphisme près).

En effet, $\hat{G}$ étant régulier, tout voisinage de l’élément neutre dans $\hat{G}$ contient l’adhérence V d’un voisinage ouvert U de $e$ dans $\hat{G}$ et V est aussi l’adhérence de la trace de U sur G.

Soit G un groupe non nécessairement séparé; soient N = $\overline{\{e\}}$, G' = G/N le groupe séparé associé à G (III, p. 13). Si G' admet un groupe complété $\hat{G}'$, on dit que ce dernier est le groupe séparé complété de G et on le note $\hat{G}$; $\hat{G}'_d$ (resp. $\hat{G}'_s$) est alors l’espace uniforme séparé complété (II, p. 23) de $G_d$ (resp. $G_s$).

Comme le noyau de u est fermé et contient e, il contient N, donc u s’écrit $u = w \circ \psi$, où w est un homomorphisme continu de $G'$ dans H; il suffit alors d’appliquer à w la prop. 5 de III, p. 22.

où $\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont les homomorphismes canoniques.

Il suffit d’appliquer la prop. 8 à l’homomorphisme $\varphi_2 \circ f : G_1 \to \hat{G}_2$.

Montrons que le critère du th. 1 est vérifié. Soit donc $\mathfrak{F}$ un filtre de Cauchy pour la structure uniforme droite de G; il existe par suite un ensemble $A \in \mathfrak{F}$ petit d’ordre $(V_0)_d$ pour cette structure; autrement dit, si $a \in A$, on a $xa^{-1} \in V_0$ pour tout $x \in A$, ou encore $A \subset V_0a$. Montrons que pour tout voisinage W de e, il existe un ensemble $B \subset A$ appartenant à $\mathfrak{F}$ et tel que $B^{-1}$ soit petit d’ordre $W_d$: cela signifie que, pour $x, y$ dans B, on doit avoir $y^{-1}x \in W$. Or, on peut écrire $x = sa$ et $y = ta$, avec $s, t$ dans $V_0$, et on a alors $yx^{-1} = ts^{-1}$ et $y^{-1}x = a^{-1}t^{-1}sa$. Par hypothèse, il existe un voisinage $W'$ de e tel que les relations $s \in V_0, t \in V_0$ et $ts^{-1} \in W'$ entraînent $t^{-1}s \in aWa^{-1}$; si $B \subset A$ est un ensemble de $\mathfrak{F}$ petit d’ordre $W'_d$, on aura donc bien $y^{-1}x \in W$ quels que soient $x, y$ dans B, ce qui prouve la proposition.

La continuité uniforme de $x^{-1}$ résulte de la prop. 2 de III, p. 21 ; celle de $xy$, de la prop. 3 de III, p. 21, puisque $(x, y) \mapsto xy$ est un homomorphisme continu de $G \times G$ dans G. Si G est séparé, il satisfait à la condition du th. 1 de III, p. 24 (comme tout groupe séparé dont les structures uniformes droite et gauche sont identiques); en outre, les fonctions $xy$ et $yx$ sont égales dans $\hat{G} \times \hat{G}$, d’après le principe de prolongement des identités. D’où la seconde assertion, en considérant dans le cas général le groupe séparé associé à G.

On déduit en particulier de ce théorème que, si $f$ et $g$ sont deux applications uniformément continues d’un espace uniforme E dans un groupe commutatif G, noté additivement, les fonctions $-f$ et $f + g$ sont uniformément continues.

Supposons G noté additivement. Soit $\mathfrak{U}_1$ la structure uniforme sur G correspondant (III, p. 20) à la topologie $\mathscr{T}_1$; il suffira de montrer que si $\mathfrak{F}$ et $\mathfrak{F}'$ sont deux filtres de Cauchy minimaux (II, p. 14) pour $\mathfrak{U}_1$, qui convergent dans $G_2$ vers le même point a, alors $\mathfrak{F} = \mathfrak{F}'$ (II, p. 21). Pour cela, il suffit de montrer que $\mathfrak{F} \cap \mathfrak{F}'$ est un filtre de Cauchy pour $\mathfrak{U}_1$. Soit V un voisinage de 0 dans G pour $\mathscr{T}_1$, fermé pour $\mathscr{T}_2$; soit W un voisinage symétrique de 0 dans G pour $\mathscr{T}_1$, tel que $W + W \subset V$. Par hypothèse, il existe dans $\mathfrak{F}$ (resp. $\mathfrak{F}'$) un ensemble M (resp. $M'$) petit d’ordre $W_d$; pour $x \in M, y \in M$, on a donc $y - x \in W$, ou encore $y \in x + W$; si $\overline{W}$ et $\overline{V}$ sont les adhérences de W et V dans $G_2$, on déduit de ce qui précède que $y \in x + \overline{W}$, donc, puisque a est adhérent à M, $a \in x + \overline{W}$ pour tout $x \in M$. De même, on a $a \in x' + \overline{W}$ pour tout $x' \in M'$, d’où l’on tire $x - x' \in \overline{W} + \overline{W}$; mais comme $(x, y) \mapsto x + y$ est une application continue de $G_2 \times G_2$ dans $G_2$, on a $\overline{W} + \overline{W} \subset \overline{W} + \overline{W} \subset \overline{V}$. On en conclut que pour $x \in M, x' \in M'$, on a $x - x' \in \overline{V} \cap G = V$, puisque V est fermé pour $\mathscr{T}_2$; ceci achève donc la démonstration.

En effet, si $A_1$ est l’adhérence de $A$ dans $G_1$, $f(A_1)$ est contenu dans l’adhérence de $A$ dans $G_2$, égale à $A$ par hypothèse. Comme $f(A) = A$ par définition et que $f$ est injective, on a $A_1 = A$.

En effet, les ensembles de $\mathfrak{V}$ sont fermés pour $\mathscr{T}_2$, donc complets pour $\mathfrak{U}_1$ en vertu du cor. 1 ; la proposition résulte alors de la prop. 4 de III, p. 22.