Đối với các phép tịnh tiến phải, kết quả là hiển nhiên, vì quan hệ $yx^{-1} \in V$ là tương đương với $(ya)(xa)^{-1} \in V$ [nói cách khác, ánh xạ $(x, y) \to (xa, ya)$ để $V_d$ bất biến]. Đối với các phép tịnh tiến trái, kết quả suy ra từ $(GV_{\text{III}})$; thật vậy, $yx^{-1} \in V$ khi và chỉ khi $(ay)(ax)^{-1} \in aV a^{-1}$; do đó $x \to ax$ là liên tục đều trên $G_d$.

Tương tự, các phép tịnh tiến phải và trái là những đẳng cấu của cấu trúc đều trái lên chính nó.

Mọi tự đẳng cấu trong $x \to axa^{-1}$ của $G$ do đó là một tự đẳng cấu đối với cấu trúc nhóm của $G$, đối với tôpô của $G$, và đối với cả hai cấu trúc đều của $G$.

Đây là một hệ quả ngay lập tức của Định nghĩa 1.

Người đọc cần thận trọng đừng cho rằng ánh xạ $(x, y) \to xy$ từ không gian đều $G_d \times G_d$ vào không gian đều $G_d$ nói chung là liên tục đều. Tương tự, phép đối xứng $x \to x^{-1}$, khi được xét như một ánh xạ từ $G_d$ lên $G_d$, nói chung không liên tục đều (xem Bài tập 3 và 4).

Thật vậy, nếu $V'$ là một lân cận của phần tử đơn vị trong $G'$, và $V = \overline{f}^{-1}(V')$, thì quan hệ $yx^{-1} \in V$ kéo theo

Giả sử chẳng hạn $V$ là đầy đủ đối với cấu trúc đều phải, và $\mathfrak{F}$ là một bộ lọc Cauchy trên $G_d$; khi đó $\mathfrak{F}$ chứa một tập $V_d$-nhỏ $M$, và nếu $x_1 \in M$ thì do đó ta có $M \subset Vx_1$. Vậy nên vết của $\mathfrak{F}$ trên không gian con đầy đủ $Vx_1$ của $G_d$ là một bộ lọc Cauchy, hội tụ đến một điểm $x_0$; vì $x_0$ là một điểm tụ của $\mathfrak{F}$, nên nó là một giới hạn của $\mathfrak{F}$ (Chương II, § 3, no. 2, Hệ quả 2 của Mệnh đề 5).

Vì mọi không gian compact đều đầy đủ đối với cấu trúc đều duy nhất của nó (Chương II, § 4, no. 1, Định lý 1).

$\bar{u}$ liên tục đều đối với các cấu trúc đều phải của $H_1$ và $H_2$ (no. 1, Mệnh đề 3), do đó có một mở rộng duy nhất thành một ánh xạ $\bar{u}$ từ $G_1$ vào $G_2$ liên tục đều đối với các cấu trúc đều phải của các nhóm này (Chương II, § 3, no. 6, Định lý 2). Hơn nữa, theo nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức (Chương I, § 8, no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2), $\bar{u}$ là một đồng cấu từ $G_1$ vào $G_2$, do đó có mệnh đề thứ nhất của Mệnh đề. Để chứng minh mệnh đề thứ hai, chỉ cần xét đẳng cấu $v$ của $H_2$ lên $H_1$, là nghịch đảo của $u$, và mở rộng của nó $\bar{v}$ thành một đồng cấu liên tục từ $G_2$ vào $G_1$; do tính duy nhất của phép mở rộng, $\bar{v} \circ \bar{u}$ và $\bar{u} \circ \bar{v}$ là các ánh xạ đồng nhất của $G_1$ và $G_2$ tương ứng, và vì vậy (Lý thuyết tập hợp, R, § 2, no. 12) $\bar{u}$ là song ánh.

Hãy đánh giá "độ gần nhau" của $xy$ và $x'y'$ trong $G_d$; nói cách khác, hãy lập tích $(x'y')(xy)^{-1} = x'y'y^{-1}x^{-1}$. Với mỗi $a \in G$, ta cũng có thể viết $(x'y')(xy)^{-1} = (x'a^{-1})(ay'y^{-1}a^{-1})(ax^{-1})$. Ta sẽ thấy rằng, bằng một lựa chọn thích hợp của $a$, mỗi thừa số trong ba thừa số của tích này đều rất nhỏ mỗi khi các cặp $(x, y)$ và $(x', y')$ thuộc một tập đủ nhỏ của $\mathfrak{F} \times \mathfrak{G}$. Cho $V$ là một lân cận bất kỳ của $e$ trong $G$; khi đó tồn tại một tập $V_d$-nhỏ $A \in \mathfrak{F}$. Chọn $a$ trong $A$, khi đó nếu $x$ và $x'$ là hai điểm bất kỳ của $A$, ta có $x'a^{-1} \in V$ và $ax^{-1} \in V$. Mặt khác, quan hệ $ay'y^{-1}a^{-1} \in V$ tương đương với

và vì $W$ là một lân cận của $e$, tồn tại một tập $W_d$-nhỏ $B \in \mathfrak{G}$. Do đó với mọi $(x, y)$ và $(x', y')$ trong $A \times B$, ta có $(x'y')(xy)^{-1} \in V^3$, và điều này hoàn tất chứng minh.

Để $x^{-1}$ có thể được mở rộng bằng liên tục lên $\hat{G}_d$ thì điều kiện cần và đủ là ảnh, qua phép đối xứng $x \to x^{-1}$, của một bộ lọc Cauchy trên $G_d$ là một bộ lọc Cauchy trên $G_d$ (Chương II, § 3, no. 6, Mệnh đề 11). Có những ví dụ về các nhóm tôpô trong đó điều kiện này không được thỏa mãn (xem Chương X, § 3, Bài tập 16); trong phần còn lại của chứng minh này, ta sẽ giả thiết rằng điều kiện ấy được thỏa mãn.

2) Các hàm được mở rộng $xy$ và $x^{-1}$ xác định một cấu trúc nhóm trên $\hat{G}_d$. Thật vậy, nếu ta áp dụng nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức (Chương I, § 8, no. 1, Mệnh đề 2, Hệ quả 1) cho các hàm $x(yz)$ và $(xy)z$, được định nghĩa trên $\hat{G}_d \times \hat{G}_d \times \hat{G}_d$ và bằng nhau trên không gian con trù mật $G_d \times G_d \times G_d$, thì ta thấy rằng luật hợp thành $(x, y) \to xy$ là kết hợp trên $\hat{G}_d$. Vì cùng lý do đó, các hàm $x, ex, xe$ là đồng nhất trên $\hat{G}_d$, và các hàm $e, xx^{-1}, x^{-1}x$ là đồng nhất trên $\hat{G}_d$.

3) Nhóm tôpô $\hat{G}_d$ là đầy đủ. Gọi $\mathfrak{U}_d$ là cấu trúc đều phải của nó, và gọi $\mathfrak{U}$ là cấu trúc đều trên $\hat{G}_d$ thu được bằng cách làm đầy đủ cấu trúc đều phải của $G$. Khi đó $\mathfrak{U}$ và $\mathfrak{U}_d$ cảm sinh cùng một cấu trúc đều trên $G$, và do đó mọi cơ sở bộ lọc Cauchy $\mathfrak{B}$ trên $G$ đối với $\mathfrak{U}_d$ cũng là một cơ sở bộ lọc Cauchy đối với $\mathfrak{U}$. Bây giờ $\mathfrak{B}$ hội tụ trong $\hat{G}_d$,

4) Tính duy nhất. Điều này suy ra từ Mệnh đề 5 của no. 3.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh định lý sau đây:

Vì $\hat{G}$ là chính quy, mọi lân cận của phần tử đơn vị trong $\hat{G}$ đều chứa bao đóng $V$ của một lân cận mở $U$ của $e$ trong $\hat{G}$, và $V$ cũng là bao đóng của vết của $U$ trên $G$.

Cho $G$ là một nhóm không nhất thiết Hausdorff; đặt $N = \overline{\{e\}}$, và gọi $G' = G/N$ là nhóm Hausdorff liên kết với $G$ (§ 2, no. 6). Nếu $G'$ có một hoàn thành $\hat{G}'$, thì hoàn thành này được gọi là hoàn thành Hausdorff của $G$ và được ký hiệu là $\hat{G}$; khi đó $\hat{G}'_d$ (resp. $\hat{G}'_s$) là hoàn thành Hausdorff (Chương II, § 3, no. 7) của không gian đều $G_d$ (resp. $G_s$).

Vì hạt nhân của $u$ là đóng và chứa $e$, nên nó chứa $N$, và do đó $u$ có thể được viết thành $u = w \circ \psi$, trong đó $w$ là một đồng cấu liên tục từ $G'$ vào $H$; bây giờ áp dụng Mệnh đề 5 của no. 3 cho $w$.

Tính liên tục đều của $x^{-1}$ suy ra từ Mệnh đề 2 của no. 1, và tính liên tục đều của $xy$ suy ra từ Mệnh đề 3 của no. 1, vì $(x, y) \to xy$ là một đồng cấu liên tục từ $G \times G$ vào $G$. Nếu $G$ là Hausdorff, thì nó thỏa mãn điều kiện của Định lý 1 ở no. 4 (cũng như mọi nhóm Hausdorff mà các cấu trúc đều trái và phải của nó trùng nhau); hơn nữa các hàm $xy$ và $yx$ bằng nhau trên $\hat{G} \times \hat{G}$ theo nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức; do đó suy ra phần thứ hai của định lý, bằng cách xét trong trường hợp tổng quát nhóm Hausdorff liên kết với $G$.

Đặc biệt, từ định lý này suy ra rằng nếu $f$ và $g$ là hai ánh xạ liên tục đều của một không gian đều $X$ vào một nhóm giao hoán $G$, viết theo lối cộng, thì các hàm $-f$ và $f + g$ là liên tục đều.

Giả sử rằng $G$ được viết theo phép cộng. Gọi $\mathfrak{U}_1$ là cấu trúc đều trên $G$ tương ứng (no. 1) với tôpô $\mathfrak{T}_1$: chỉ cần chứng minh rằng nếu $\mathfrak{F}$ và $\mathfrak{F}'$ là hai bộ lọc Cauchy cực tiểu (Chương II, § 3, no. 2) đối với $\mathfrak{U}_1$, cùng hội tụ trong $G_2$ đến một điểm $a$, thì $\mathfrak{F} = \mathfrak{F}'$ (Chương II, § 3, no. 7). Để làm điều đó, chỉ cần chứng minh rằng $\mathfrak{F} \cap \mathfrak{F}'$ là một bộ lọc Cauchy đối với $\mathfrak{U}_1$. Cho $V$ là một lân cận của $o$ trong $G$ đối với $\mathfrak{T}_1$, sao cho $V$ đóng trong $\mathfrak{T}_2$, và cho $W$ là một lân cận đối xứng của $o$ trong $G$ đối với $\mathfrak{T}_1$, sao cho $W + W \subset V$. Theo giả thiết, có một tập $W_d$-nhỏ $M$ (resp. $M'$) trong $\mathfrak{F}$ (resp. $\mathfrak{F}'$); nếu $x \in M$ và $y \in M$ thì ta có $y - x \in W$, tức là $y \in x + W$. Nếu $\overline{W}$ và $\overline{V}$ là các bao đóng của $W$ và $V$ trong $G_2$, suy ra $y \in x + \overline{W}$, và do đó, vì $a$ thuộc bao đóng của $M$, nên $a \in x + \overline{W}$ với mọi $x \in M$. Tương tự, $a \in x' + \overline{W}$ với mọi $x' \in M'$, và vì thế $x - x' \in \overline{W} + \overline{W}$; nhưng vì $(x, y) \to x + y$ là một ánh xạ liên tục từ $G_2 \times G_2$ vào $G_2$, nên ta có $\overline{W} + \overline{W} \subset \overline{W} + \overline{W} \subset \overline{V}$. Suy ra rằng nếu $x \in M$ và $x' \in M'$, thì $x - x' \in \overline{V} \cap G = V$, vì $V$ đóng trong $\mathfrak{T}_2$; và điều này hoàn thành chứng minh.

Nếu $A_1$ là bao đóng của $A$ trong $G_1$, thì $f(A_1)$ được chứa trong bao đóng của $A$ trong $G_2$, mà theo giả thiết thì bằng $A$. Vì $f(A) = A$ theo định nghĩa và $f$ là đơn ánh, ta có $A_1 = A$.

Các tập hợp của $\mathfrak{B}$ là đóng trong tôpô $\mathfrak{T}_2$, do đó đầy đủ đối với cấu trúc đều $U_1$ theo Hệ quả 1; vì thế kết quả suy ra từ Mệnh đề 4 của no. 3.