En effet, $\rho$ se factorise en $K \times E \xrightarrow{\alpha} K \times E \xrightarrow{\mathrm{pr}_2} E$, où $\alpha(s, x) = (s, s.x)$. L’application $\alpha$ est un homéomorphisme, car $\alpha^{-1}(s, y) = (s, s^{-1}.y)$ est continue; puisque K est quasi-compact, $\mathrm{pr}_2$ est propre (I, p. 77, cor. 5); donc $\rho$ est propre (I, p. 73, prop. 5).

L’assertion relative aux parties fermées résulte de la prop. 1 et de ce qu’une application propre est fermée (I, p. 72, prop. 1); l’assertion relative aux parties compactes est triviale.

On notera que si L est une partie compacte de E, F une partie fermée de G, F.L n’est pas nécessairement fermé dans E (III, p. 72, exerc. 29; cf. III, p. 35, corollaire).

La première assertion résulte du cor. 1; la seconde résulte alors du I, p. 75, th. 1.

En effet, comme $x^{-1}y \in K$ est une relation d’équivalence fermée (cor. 2), le corollaire résulte de I, p. 32, prop. 4.

a) K opère proprement dans E. b) L’application $(s, x) \mapsto s.x$ de $K \times E$ dans E est propre. c) L’application canonique de E sur $E/K$ est propre.

En effet, b) résulte de la prop. 1. D’autre part, comme K est compact, $\mathrm{pr}_2 : (s, x) \mapsto x$ est propre (I, p. 77, cor. 5); donc, comme E est séparé, $(s, x) \mapsto (x, s.x)$ est propre (I, p. 74, cor. 3), ce qui prouve a). En vertu du cor. 1 de la prop. 1, l’application canonique $\varphi : E \to E/K$ est fermée; pour tout espace topologique Z, si on fait opérer trivialement K dans Z, K opère continûment dans $E \times Z$, donc l’application canonique $E \times Z \to (E \times Z)/K$ est fermée d’après ce qui précède; mais $(E \times Z)/K$ s’identifie canoniquement à $(E/K) \times Z$ (III, p. 10, lemme 2 et I, p. 34, cor. de la prop. 8). Donc l’application canonique $E \times Z \to (E \times Z)/K$ s’identifie à $\varphi \times \mathrm{Id}_Z$, et dire qu’elle est fermée pour tout Z signifie que $\varphi$ est propre.

(i) Si $\varphi$ est surjectif, $\psi$ surjective et propre, et si G opère proprement dans E, alors G' opère proprement dans E'.

(ii) Si $\varphi$ est propre, si G' opère proprement dans E' et si E est séparé, alors le groupe G opère proprement dans E.

Pour démontrer (i), on considère le diagramme commutatif

où $\alpha = \varphi \times \psi, \beta = \psi \times \psi$. Par hypothèse, $\theta$ est propre et il en est de même de $\beta$ (I, p. 73, prop. 4 a)); donc $\beta \circ \theta = \theta' \circ \alpha$ est propre (I, p. 73, prop. 5 a)); comme $\alpha$ est surjective, on en déduit que $\theta'$ est propre (I, p. 73, prop. 5 b)).

Pour démontrer (ii), considérons un ultrafiltre $\mathfrak{U}$ sur $G \times E$, tel que $(s, x) \mapsto s.x$ et $(s, x) \mapsto x$ convergent suivant $\mathfrak{U}$ vers $y_0$ et $x_0$ respectivement. On en conclut que $(s, x) \mapsto \varphi(s).\psi(x)$ et $(s, x) \mapsto \psi(x)$ convergent suivant $\mathfrak{U}$. Puisque G' opère proprement dans E', cela entraîne (III, p. 27) que $(s, x) \mapsto \varphi(s)$ converge suivant $\mathfrak{U}$ vers un point $s'_0 \in G'$; comme $\varphi$ est propre, on en conclut (I, p. 75, th. 1) que $(s, x) \mapsto s$ converge suivant $\mathfrak{U}$ vers un point $s_0 \in G$. L’unicité de la limite dans E montre alors que $y_0 = s_0.x_0$, ce qui montre que G opère proprement dans E (I, p. 75, th. 1).

La nécessité de la condition résulte de la prop. 4 b) de III, p. 29. Pour montrer que la condition est suffisante, observons d’abord que G opère proprement dans lui-même par translation à gauche (III, p. 27, Exemple 1) et d’autre part l’application canonique $\psi : G \to G/K$ est propre (III, p. 28, cor. 2). Il suffit alors d’appliquer la prop. 5, (i) en y faisant $G, \varphi = \mathrm{Id}_G, E = G, E' = G/K, \psi$ étant l’application canonique.

L’ensemble C est l’image de l’application θ : (s, x) ↦ (x, s.x) de G × E dans E × E. On sait (I, p. 72, prop. 2) que pour que θ soit propre, il faut et il suffit que C soit fermé dans E × E et que si on désigne par θ' l’application θ considérée comme application de G × E dans C, θ' soit un homéomorphisme. Or l’hypothèse entraîne que θ' est bijective et que son application réciproque est (x, y) ↦ (φ(x, y), x); pour que θ' soit un homéomorphisme, il faut et il suffit donc que φ soit continue.

Soit F l’espace compact obtenu en adjoignant à G un point à l’infini ω et soit Γ le graphe de ρ : (s, x) ↦ s.x considéré comme partie de F × E × E; montrons que si la restriction à Γ de pr_{23} est propre, Γ est fermé dans F × E × E. En effet, l’hypothèse entraîne que l’application u : (t, s, x, y) ↦ (t, x, y) de F × Γ dans F × E × E est fermée. Si Γ' est l’ensemble des points (s, s) dans F × G pour s ∈ G, Γ' est fermé dans F × G, étant le graphe de l’injection canonique G → F (I, p. 53, cor. 2); l’intersection (Γ' × E × E) ∩ (F × Γ) est donc une partie fermée de F × Γ, et il est immédiat que son image par u est l’ensemble Γ considéré comme partie de F × E × E, d’où notre assertion. Or, on a ((ω) × E × E) ∩ Γ = ∅. Par définition de F, pour tout (x, y) ∈ E × E, il existe donc un voisinage W de (x, y) dans E × E et une partie compacte K de G tels que ((G − K) × W) ∩ Γ = ∅ ; comme on peut prendre pour W un voisinage de la forme V_x × V_y, où V_x et V_y sont des voisinages de x et y respectivement, la relation ((G − K) × W) ∩ Γ = ∅ se traduit par « s ∉ K entraîne s.V_x ∩ V_y = ∅ », et nous avons démontré la nécessité de la condition de l’énoncé. Inversement, supposons cette condition vérifiée; soit $A$ un ensemble filtré par un ultrafiltre $\mathfrak{F}$ et soit $\alpha \mapsto (s_\alpha, x_\alpha)$ une application de $A$ dans $G \times E$ telle que $\lim_{\mathfrak{F}} x_\alpha = x$, $\lim_{\mathfrak{F}} s_\alpha \cdot x_\alpha = y$. Supposons que $K, V_x$ et $V_y$ vérifient la condition de l’énoncé. Par hypothèse, il existe un ensemble $M \in \mathfrak{F}$ tel que pour $\alpha \in M$, on ait $x_\alpha \in V_x$ et $s_\alpha \cdot x_\alpha \in V_y$, donc $s_\alpha \in K$, ce qui prouve que $\alpha \mapsto s_\alpha$ converge suivant $\mathfrak{F}$ et achève la démonstration.

Lorsque $G$ est compact, la condition de l’énoncé de la prop. 7 est trivialement vérifiée, et on retrouve ainsi la prop. 2 a) de III, p. 28.

La prop. 7 montre en particulier qu’un groupe discret $G$ opérant continûment dans un espace séparé $E$ opère proprement dans $E$ si et seulement si, pour tout couple $(x, y)$ de points de $E$, il existe un voisinage $V_x$ de $x$ et un voisinage $V_y$ de $y$ tels que l’ensemble des $s \in G$ pour lesquels $s \cdot V_x \cap V_y \neq \varnothing$ soit fini.

a) Le sous-groupe $K_x$ est fini.

b) Il existe un voisinage ouvert $U$ de $x$ dans $E$ possédant les propriétés suivantes: (i) $U$ est stable par $K_x$; (ii) la relation d’équivalence induite dans $U$ par la relation définie par $G$ est la relation définie par $K_x$; (iii) pour tout $s \in G - K_x$, on a $U \cap s \cdot U = \varnothing$.

c) L’application canonique $U/K_x \to E/G$ est un homéomorphisme de $U/K_x$ sur un voisinage ouvert de la classe de $x$ dans $E/G$.

En vertu de la prop. 7, $K_x$ est fini. Pour construire un ensemble ouvert $U$ vérifiant les conditions requises, notons d’abord qu’il existe, d’après la prop. 7, un ensemble ouvert $U_0$ contenant $x$ et tel que l’ensemble $K$ des $s \in G$ pour lesquels $s \cdot U_0 \cap U_0 \neq \varnothing$ soit fini. On a évidemment $K_x \subset K$; soient $s_1, \ldots, s_n$ les éléments de $K - K_x$. Si l’on pose $x_i = s_i \cdot x$ ($1 \leq i \leq n$), on a $x_i \neq x$ pour tout $i$; puisque $E$ est séparé, il existe pour chaque indice $i$ un voisinage ouvert $V_i$ de $x$ et un voisinage ouvert $V'_i$ de $s_i \cdot x$ tels que $V_i \cap V'_i = \varnothing$; posons $U_i = V_i \cap s_i^{-1} \cdot V'_i$. Il est clair que $U_i$ est ouvert et contient $x$, et l’on a $U_i \cap s_i \cdot U_i \subset V_i \cap V'_i = \varnothing$. Soit $U' = U_0 \cap U_1 \cap \cdots \cap U_n$; $U'$ est ouvert, contient $x$ et est tel que $U' \cap s \cdot U' = \varnothing$ pour $s \notin K_x$; en posant $U = \bigcap_{t \in K_x} t \cdot U'$ on obtient un ensemble ouvert stable pour $K_x$, contenant $x$ et tel que $U \cap s \cdot U = \varnothing$ pour $s \notin K_x$; c’est l’ensemble ouvert cherché.

Le fait que l’application canonique $U/K_x \to E/G$ soit un homéomorphisme de $U/K_x$ sur un ensemble ouvert dans $E/G$ résulte de I, p. 32, prop. 4, puisque $U$ est ouvert et la relation d’équivalence définie par $G$ ouverte (III, p. 10, lemme 2).

En effet, comme la relation d’équivalence dans $E$ définie par $G$ est ouverte (III, p. 10, lemme 2), la proposition résulte de I, p. 80, prop. 10.

Comme la relation d’équivalence définie par $G$ est ouverte (III, p. 10, lemme 2), la proposition est un cas particulier de la prop. 10 de I, p. 80.

Par hypothèse, l’application $\theta : (s, x) \mapsto (x, s.x)$ de $G \times E$ dans $E \times E$ est propre; si $E \times E$ est compact (resp. localement compact) le corollaire de I, p. 79 montre qu’il en est de même de $G \times E$, donc de $G$ puisque $E \neq \emptyset$. Comme $E/G$ est séparé (III, p. 29, prop. 3) on sait que si $E$ est compact (resp. localement compact), $E/G$ est compact (I, p. 78, prop. 8) (resp. localement compact (prop. 9)) (voir III, p. 72, exerc. 29).

Nous allons maintenant donner des critères permettant d’affirmer qu’un groupe topologique séparé $G$ opère proprement dans un espace localement compact $E$. Pour tout couple de parties $K, L$ de $E$, nous noterons $P(K, L)$ l’ensemble des $s \in G$ tels que $s.K \cap L \neq \emptyset$.

L’application $(s, x) \mapsto s.x$ de $G \times K$ dans $E$ est continue; l’image réciproque $L'$ de $L$ par cette application est donc fermée. Comme $K$ est compact, la projection $\mathrm{pr}_1 : G \times K \to G$ est propre (I, p. 77, cor. 5) et l’image de $L'$ par $\mathrm{pr}_1$ est fermée (I, p. 72, prop. 1). Comme cette image est $P(K, L)$, ceci démontre a).

Démontrons b). Notons que E est séparé (III, p. 29, prop. 3). Par hypothèse l’application $\theta : (s, x) \mapsto (x, s.x)$ de $G \times E$ dans $E \times E$ est propre; comme $K \times L$ est compact, $\overline{\theta}(K \times L)$ est compact, E étant séparé (I, p. 77, prop. 6); la projection $P(K, L)$ de $\overline{\theta}(K \times L)$ dans $G$ est donc un ensemble compact.

Démontrons c). Comme $K \times L$ est fermé dans $E \times E$, $\overline{\theta}(K \times L)$ est une partie fermée de $P(K, L) \times K$, donc est un ensemble compact sous les hypothèses de c). Comme toute partie compacte de $E \times E$ est contenue dans un ensemble compact de la forme $K \times L$, on en conclut que l’image réciproque par $\theta$ d’une partie compacte quelconque de $E \times E$ est compacte, et puisque $E \times E$ est localement compact, ceci prouve que $\theta$ est propre (I, p. 77, prop. 7) (voir IV, p. 46, exerc. 4 c)).

L’application $\rho_K$ se factorise en $G \times K \xrightarrow{\theta_K} K \times E \xrightarrow{\mathrm{pr}_2} E$, où $\theta_K$ est la restriction à $G \times K$ de l’application $\theta : (s, x) \mapsto (x, s.x)$ de $G \times E$ dans $E \times E$. Comme $\overline{\theta}(K \times E) = G \times K$, $\theta_K$ est propre si $\theta$ l’est (I, p. 72, prop. 3). D’autre part, comme K est compact, la projection $\mathrm{pr}_2$ de $K \times E$ sur E est propre (I, p. 77, cor. 5) donc $\rho_K$ est propre (I, p. 73, prop. 5).

Supposons inversement que pour toute partie compacte K de E, $\rho_K$ soit propre; si L est une partie compacte de E, $\overline{\rho_K}(L)$ est une partie compacte de

G × K, dont la projection dans G est P(K, L); donc P(K, L) est compact, et si E est localement compact, on en conclut que G opère proprement dans G, en vertu du th. 1 de III, p. 33.

Nous avons en outre prouvé:

Soit C la composante neutre de G. Les composantes connexes de G sont les ensembles sC, où s ∈ G (III, p. 8, prop. 8); il est clair que φ(sC) est connexe, donc aussi $\overline{\varphi(sC)}$ (I, p. 81, prop. 1). Mais $\varphi(sC) = \varphi(sCH)$ et comme sCH est saturé pour la relation d’équivalence définie par H, et que cette relation est ouverte (III, p. 10, lemme 2), on a $\overline{\varphi(sCH)} = \varphi(\overline{sCH}) = \varphi(s.\overline{CH})$ (I, p. 33, prop. 7).

Posons L = $\overline{CH}$; L est un sous-groupe fermé de G contenant C et H; pour prouver que les ensembles $\varphi(s.L) = s.\varphi(L)$ sont les composantes connexes de G/H, il suffit de montrer que l’espace quotient de G/H par la relation d’équivalence dont les ensembles s.φ(L) sont les classes est totalement discontinu. Or, cet espace quotient est homéomorphe à l’espace homogène G/L (I, p. 21, prop. 7); on est ainsi ramené à prouver que lorsque C ⊂ H, G/H est totalement discontinu. Comme G/H s’identifie alors à (G/C)/(H/C) (III, p. 15, prop. 22), on peut supposer que G est lui-même totalement discontinu. Tout voisinage de φ(e) dans G/H contient un voisinage de la forme φ(V), où V est un voisinage de e dans G, et par suite (cor. 1) il contient un voisinage de la forme φ(K), où K est un sous-groupe ouvert et compact de G; φ(K) est alors ouvert et fermé dans G/H, ce qui montre que la composante connexe de φ(e) dans G/H est réduite à ce point; par translation, il en est de même de la composante connexe de tout point de G/H, ce qui achève de démontrer le corollaire.