D’une manière plus imagée, on peut dire qu’en ôtant de la famille $(x_i)$ un nombre fini (assez grand) de termes, toute somme partielle finie de la sous-famille restante doit être aussi voisine que l’on veut de 0.

Une conséquence immédiate de la première partie du th. 1 est la proposition suivante: Proposition 1. — Si la famille $(x_i)$ est sommable, tout voisinage de 0 contient tous les $x_i$, à l’exception d’une sous-famille finie (en d’autres termes, si I est infini, on a $\lim x_i = 0$ suivant le filtre des complémentaires des parties finies de I).

Cette condition nécessaire pour qu’une famille $(x_i)$ soit sommable n’est nullement suffisante en général, même lorsque G est complet; on en verra de nombreux exemples par la suite (voir IV, p. 33).

En effet, soit $(V_n)$ un système fondamental dénombrable de voisinages de 0; si $H_n$ est l’ensemble des indices i tels que $x_i \notin V_n$, l’ensemble H des indices i tels que $x_i \neq 0$ est la réunion des $H_n$, et chacun des $H_n$ est fini d’après la prop. 1.

Ce corollaire n’est plus nécessairement valable lorsqu’on ne suppose pas que l’origine possède un système fondamental dénombrable de voisinages. Considérons par exemple, le groupe produit $\mathbf{R}^\mathbf{R}$ (groupe additif des fonctions numériques finies d’une variable réelle, muni de la topologie de la convergence simple (cf. X, § 1, n° 3)) et soit $f_a$ l’élément de $\mathbf{R}^\mathbf{R}$ tel que $f_a(a) = 1, f_a(x) = 0$ pour $x \neq a$; la famille $(f_a)_{a \in \mathbf{R}}$ est sommable et a pour somme la fonction égale à 1 en tout point de $\mathbf{R}$. \ Toutefois:

En effet, soient $V$ un voisinage de 0, $H$ un sous-groupe ouvert de $G$ contenu dans $V$; s’il existe une partie finie $J_0$ de $I$ telle que $x_i \in H$ pour tout $i \notin J_0$, on a aussi $\sum_{i \in K} x_i \in H$ pour toute partie finie $K$ de $I$ ne rencontrant pas $J_0$. Il suffit donc d’appliquer le th.1.

En effet, le critère de Cauchy est trivialement vérifié pour une sous-famille de $(x_i)_{i \in I}$ s’il l’est pour cette famille.

Si $(x_i)_{i \in I}$ est sommable, la somme $\sum_{i \in J} x_i$ est donc définie pour toute partie (finie ou non) $J$ de $I$; on l’appelle encore somme partielle de la famille $(x_i)$, correspondant à la partie $J$ de l’ensemble d’indices. L’ensemble des sommes partielles d’une famille sommable est évidemment contenu dans l’adhérence de l’ensemble des sommes partielles finies.

D’une manière plus imagée, on peut dire que, si on a une famille sommable dans un groupe complet, on peut associer arbitrairement ses termes en sous-familles et former la somme de chaque sous-famille ainsi obtenue; la famille de ces sommes partielles est encore sommable, et sa somme est égale à celle de la famille donnée.

Posons $s = \sum_{i \in I} x_i$, et soit $V$ un voisinage fermé quelconque de 0 dans $G$; il existe une partie finie $J_0$ de $I$ telle que, pour toute partie finie $J$ de $I$, contenant $J_0$, on ait $\sum_{t \in J} x_t \in s + V$. Soit $K_0$ la partie de $L$ formée des indices $\lambda$ tels que $J_\lambda = I_\lambda \cap J_0$ ne soit pas vide ; $K_0$ est évidemment finie. Soit $K$ une partie finie quelconque de $L$, contenant $K_0$; on va montrer que $\sum_{\lambda \in K} s_\lambda \in s + V$, ce qui établira le théorème. Or, $s_\lambda$ est très voisin d’une somme partielle finie de $(x_t)$, dont les indices appartiennent tous à $I_\lambda$; de façon précise, étant donné un voisinage symétrique $W$ de 0, il existe pour chaque $\lambda \in K$ une partie finie $H_\lambda$ de $I_\lambda$, contenant $J_\lambda$, et telle que $s_\lambda - \sum_{t \in H_\lambda} x_t \in W$. Posons $J = \bigcup_{\lambda \in K} H_\lambda$; $J$ est une partie finie de $I$ contenant $J_0$, et on a

d’après l’associativité de la somme finie (A, I, p. 9). En vertu du choix de $J_0$ et des $H_\lambda$, on a donc

où $n$ désigne le nombre d’éléments de $K$; cette relation a lieu pour tout $W$, donc on a aussi $\sum_{\lambda \in K} s_\lambda \in s + V$, puisque $V$, étant fermé, est l’intersection des voisinages $V + nW$ (III, p. 20, formule (1)).

C.Q.F.D.

On peut donc écrire la formule d’associativité de la somme:

(1)

valable lorsque la famille $(I_\lambda)$ est une partition de sa réunion, et que le second membre est défini. En particulier, si l’ensemble d’indices $I = L \times M$ est un produit, et si la famille « double » $(x_{\lambda \mu})_{(\lambda, \mu) \in L \times M}$ est sommable, on a la formule d’échange des signes de sommation

(2)

Il faut observer que le premier membre de (1) peut avoir un sens, sans que le second soit défini. Considérons par exemple le cas où $I = L \times \{1, 2\}$ (L infini), $I_\lambda$ étant formé des deux éléments $(\lambda, 1)$ et $(\lambda, 2)$; si on prend $x_{\lambda, 1} = a, x_{\lambda, 2} = -a$, où $a$ est un élément $\neq 0$ de $G$, toutes les sommes partielles correspondant aux $I_\lambda$ sont nulles, donc le premier membre de (1) est défini et égal à 0, tandis que le second membre de (1) n’a pas de sens, comme le montre la prop. 1 de III, p. 38.

De même, si le premier membre de (2) n’est pas défini, chacun des deux derniers membres de (2) peut avoir un sens, sans que les éléments de $G$ qu’ils représentent soient nécessairement égaux (voir IV, p. 61, exerc. 17).

D’une manière plus imagée, on peut dire que, s’il est toujours possible d'« associer » arbitrairement les termes d’une somme, on ne peut, par contre, « dissocier » en leurs éléments ceux des termes d’une somme qui se présentent eux-mêmes comme des sommes. Cette opération est toutefois légitime lorsque ces termes « dissociables » sont en nombre fini. En effet:

Il suffit de la démontrer lorsque $L = \{1, 2\}$; on procédera ensuite par récurrence sur le nombre d’éléments de $L$. Posons $s_1 = \sum_{i \in I_1} x_i$, $s_2 = \sum_{i \in I_2} x_i$; pour tout voisinage $V$ de l’origine, il existe une partie finie $J_1$ (resp. $J_2$) de $I_1$ (resp. $I_2$) telle que pour toute partie finie $H_1$ (resp. $H_2$) de $I_1$ (resp. $I_2$) contenant $J_1$ (resp. $J_2$), on ait $\sum_{i \in H_1} x_i \in s_1 + V$ (resp. $\sum_{i \in H_2} x_i \in s_2 + V$). Si on pose $J_0 = J_1 \cup J_2$, on en déduit que, pour toute partie finie $H$ de $I$, contenant $J_0$, on a $\sum_{i \in H} x_i \in s_1 + s_2 + V + V$, d’où la proposition.

Cela résulte aussitôt de la condition de convergence, suivant un filtre, d’une fonction prenant ses valeurs dans un espace produit (I, p. 51, cor. 1); on a en effet, pour toute partie finie $J$ de $I$, $\mathrm{pr}_\lambda (\sum_{i \in J} x_i) = \sum_{i \in J} \mathrm{pr}_\lambda x_i$.

(3)

Pour toute partie finie $J$ de l’ensemble d’indices, on a en effet

et l’image par $f$ d’une base de filtre convergente est une base de filtre convergente (I, p. 50, cor. 1).

(4)

(5) (6)

En effet, $x \mapsto -x$ et $x \mapsto nx$ sont des homomorphismes continus de $G$ dans $G$ ; d’autre part, si $(x_i)$ et $(y_i)$ sont sommables, la famille $((x_i, y_i))$ est sommable dans $G \times G$, et comme $(x, y) \mapsto x + y$ est un homomorphisme continu de $G \times G$ dans $G$, on en déduit (6).

C’est une conséquence évidente de la continuité de $-x$ dans G, et de $x + y$ dans $G \times G$.

En effet, la série de terme général $x_n - y_n$ a tous ses termes nuls à partir d’un certain rang.

On exprime encore ce corollaire en disant qu’on peut modifier arbitrairement un nombre fini de termes d’une série convergente sans qu’elle cesse d’être convergente.

En particulier, si $y_n = 0$ pour $n < m, y_n = x_n$ pour $n \geq m$, la série de terme général $y_n$ converge en même temps que la série de terme général $x_n$; sa somme se note $\sum_{n=m}^{\infty} x_n$ et s’appelle le reste d’indice m de la série $(x_n)$; comme $\sum_{n=m}^{\infty} x_n = \sum_{n=0}^{\infty} x_n - s_{m-1}$, le reste d’indice m d’une série convergente tend vers 0 lorsque m augmente indéfiniment.

Si une suite $(x_n)_{n \in I}$ a pour ensemble d’indices une partie infinie I de $\mathbf{N}$, et si $\varphi$ désigne l’application bijective strictement croissante de $\mathbf{N}$ sur I, on appelle encore, par abus de language, série définie par la suite $(x_n)_{n \in I}$, la série définie par la suite $(x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbf{N}}$; si elle est convergente, sa somme se note $\sum_{n \in I}^{\infty} x_n$. On vérifie immédiatement que cette série converge en même temps que la série de terme général $z_n$, où on pose $z_n = x_n$ si $n \in I, z_n = 0$ si $n \in \mathbf{C}I$.

Il importe de remarquer que, si la série définie par une suite $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ est convergente, il peut exister des parties infinies I de $\mathbf{N}$ telles que la série définie par la suite partielle $(x_n)_{n \in I}$ ne soit pas convergente (voir III, p. 79, exerc. 5, et IV, p. 38, Exemples).

Les prop. 4 et 5 s’étendent de même aux séries; nous laissons au lecteur le soin de les énoncer.

En effet, la suite des sommes partielles de la série $(u_n)$ n’est autre que la suite $(s_{k_n-1})$ extraite de la suite $(s_n)$ des sommes partielles de la série $(x_n)$.

La condition est évidemment suffisante. Pour voir qu’elle est nécessaire, raisonnons par l’absurde, en supposant la série $(x_n)$ commutativement convergente, mais la suite $(x_n)$ non sommable. L’image par l’application $H \mapsto s_H$ du filtre $\Phi$ ne peut alors être la base d’un filtre de Cauchy dans $G$, sans quoi ce filtre, qui a un point adhérent par hypothèse, convergerait (II, p. 14, cor. 2 de la prop. 5). Il existe donc un voisinage $V$ de $0$ tel que, pour toute partie finie $J$ de $\mathbf{N}$, il existe une partie finie $H$ de $\mathbf{N}$ ne rencontrant pas $J$ et telle que $\sum_{n \in H} x_n \notin V$. On peut alors définir, par récurrence, une partition de $\mathbf{N}$ en sous-ensembles finis $H_k$ ($k \in \mathbf{N}$) telle que $\sum_{n \in H_k} x_n \notin V$ pour une infinité d’indices $k$. Il est clair qu’il existe une permutation $\sigma$ de $\mathbf{N}$ telle que, pour tout $k$, les valeurs de $n$ telles que $\sigma(n) \in H_k$ soient consécutives. Pour une telle permutation, la série de terme général $x_{\sigma(n)}$ ne saurait être convergente, d’où la contradiction annoncée.