Như vậy, bằng cách bỏ đi một số hữu hạn số hạng (đủ lớn) khỏi họ $(x_i)$, mọi tổng riêng hữu hạn của họ con còn lại đều phải gần $o$ tùy ý.

Một hệ quả ngay lập tức của phần thứ nhất của Định lý 1 là mệnh đề sau:

Điều kiện cần này để một họ $(x_i)$ là khả tổng hoàn toàn không đủ nói chung, ngay cả khi $G$ là đầy đủ; về sau chúng ta sẽ thấy nhiều ví dụ (xem Chương IV, § 7).

Cho $(V_n)$ là một hệ cơ bản đếm được các lân cận của $o$. Nếu $H_n$ là tập hợp tất cả các chỉ số $i$ sao cho $x_i \notin V_n$, thì tập hợp $H$ các chỉ số $i$ sao cho $x_i \neq o$ là hợp của các tập hợp $H_n$, và mỗi $H_n$ đều là hữu hạn theo Mệnh đề 1.

Thật vậy, nếu tiêu chuẩn Cauchy được thỏa mãn bởi một họ $(x_i)_{i \in I}$, thì hiển nhiên nó được thỏa mãn bởi mọi họ con.

Vì vậy, nếu $(x_i)_{i \in I}$ khả tổng, thì suy ra tổng $\sum_{i \in J} x_i$ được xác định với mọi tập con J của I, hữu hạn hay không: nó cũng được gọi là tổng bộ phận của họ $(x_i)$, tương ứng với tập con J của tập hợp chỉ số. Tập hợp các tổng bộ phận của một họ khả tổng hiển nhiên được chứa trong bao đóng của tập hợp các tổng bộ phận hữu hạn.

Vì thế, nếu ta có một họ khả tổng trong một nhóm đầy đủ, thì ta có thể nhóm các hạng của nó một cách tùy ý thành các họ con và lập tổng của mỗi họ con thu được như vậy; họ các tổng bộ phận này lại khả tổng và tổng của nó bằng tổng của họ đã cho.

Đặt $s = \sum_{i \in I} x_i$, và cho $V$ là một lân cận đóng bất kỳ của 0 trong $G$. Khi đó tồn tại một tập con hữu hạn $J_0$ của $I$ sao cho, với mỗi tập con hữu hạn $J$ của $I$ chứa $J_0$, ta có $\sum_{i \in J} x_i \in s + V$. Gọi $K_0$ là tập con của $L$ gồm các chỉ số $\lambda$ sao cho $J_\lambda = I_\lambda \cap J_0$ không rỗng: $K_0$ rõ ràng là hữu hạn. Cho $K$ là một tập con hữu hạn bất kỳ của $L$ chứa $K_0$; ta sẽ chứng minh rằng $\sum_{\lambda \in K} s_\lambda \in s + V$, điều này sẽ thiết lập định lý.

Bây giờ $s_\lambda$ rất gần với một tổng từng phần hữu hạn của $(x_i)$, mà các chỉ số của nó đều thuộc $I_\lambda$; chính xác hơn, với mọi lân cận đối xứng $W$ của 0, tồn tại với mỗi $\lambda \in K$ một tập con hữu hạn $H_\lambda$ của $I_\lambda$, chứa $J_\lambda$ và sao cho $s_\lambda - \sum_{i \in H_\lambda} x_i \in W$. Đặt $J = \sum_{\lambda \in K} H_\lambda$; khi đó $J$ là một tập con hữu hạn của $I$ chứa $J_0$, và ta có

theo tính kết hợp của các tổng hữu hạn. Do đó do cách lựa chọn $J_0$ và các $H_\lambda$, ta có

trong đó $n$ là số phần tử của $K$; quan hệ này đúng với mọi $W$, nên cũng có $\sum_{\lambda \in K} s_\lambda \in s + V$, vì $V$ (do đóng) là giao của các lân cận $V + nW$ [§ 3, no. 1, công thức (1)].

Vì thế ta có thể viết công thức tính kết hợp đối với các tổng:

(I)

công thức này đúng mỗi khi họ $(I_\lambda)$ là một phân hoạch của hợp của chúng và vế phải được xác định. Đặc biệt, nếu tập chỉ số là một tích $I = L \times M$, và nếu họ "kép" $(x_{\lambda \mu})_{(\lambda, \mu) \in L \times M}$ là khả tổng, thì ta có công thức thay đổi thứ tự lấy tổng

(2)

Cần nhận xét rằng vế trái của (1) có thể có nghĩa mà vế phải không được xác định. Chẳng hạn, xét trường hợp $I = LX \{1, 2\}$ và $L$ là vô hạn, và $I_\lambda$ gồm hai phần tử $(\lambda, 1)$ và $(\lambda, 2)$; nếu lấy $x_{\lambda, 1} = a,\ x_{\lambda, 2} = -a$, trong đó $a$ là một phần tử khác không bất kỳ của $G$, thì mọi tổng bộ phận tương ứng với các $I_\lambda$ đều bằng không, và do đó vế trái của (1) được xác định và bằng 0, trong khi vế phải của (1) không có nghĩa, như Mệnh đề 1 cho thấy.

Tương tự, có thể xảy ra việc vế trái của (2) không được xác định nhưng mỗi một trong hai "tổng kép" trong (2) lại có nghĩa; và các phần tử của $G$ mà chúng biểu diễn không nhất thiết phải bằng nhau (xem Chương IV, § 7, Bài tập 17).

Vì vậy, mặc dù luôn luôn có thể "nhóm" các hạng của một tổng, nhưng ngược lại không thể "tách" thành các phần tử của chúng những hạng của một tổng mà bản thân chúng lại xuất hiện như những tổng. Tuy nhiên, phép toán này là hợp thức mỗi khi số các hạng có thể "tách" ấy là hữu hạn.

Chỉ cần chứng minh mệnh đề khi $L = (1,2)$; sau khi đã làm xong điều đó, ta khi đó tiến hành bằng quy nạp theo số phần tử của $L$. Đặt $s_1 = \sum_{i \in I_1} x_i$ và $s_2 = \sum_{i \in I_2} x_i$. Với mỗi lân cận $V$ của gốc, tồn tại một tập con hữu hạn $J_1$ (resp. $J_2$) của $I_1$ (resp. $I_2$) sao cho, với mỗi tập con hữu hạn $H_1$ (resp. $H_2$) của $I_1$ (resp. $I_2$) chứa $J_1$ (resp. $J_2$), ta có $\sum_{i \in H_1} x_i \in S_1 + V$ (resp. $\sum_{i \in H_2} x_i \in s_2 + V$). Nếu đặt $J_0 = J_1 \cup J_2$, thì suy ra rằng, với mỗi tập con hữu hạn $H$ của $I$ chứa $J_0$, ta có $\sum_{i \in H} x_i \in S_1 + s_2 + V + V$, và kết quả được suy ra.

Điều này suy ra ngay lập tức từ điều kiện hội tụ, đối với một bộ lọc, của một hàm nhận giá trị trong một không gian tích (Chương I, § 1, no. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 10); thật vậy, với mỗi tập con hữu hạn $J$ của $I$, ta có

Nếu $J$ là một tập con hữu hạn bất kỳ của tập chỉ số, thì $f \left( \sum_{i \in J} x_i \right) = \sum_{i \in J} f(x_i)$, và ảnh qua $f$ của một cơ sở bộ lọc hội tụ là một cơ sở bộ lọc hội tụ (Chương I, § 7, no. 4, Hệ quả 1 của Mệnh đề 9).

Vì $x \to -x$ và $x \to nx$ là các đồng cấu liên tục từ $G$ vào $G$; mặt khác, nếu $(x_i)$ và $(y_i)$ là khả tổng, thì họ $(x_i, y_i)$ là khả tổng trong $G \times G$, và vì $(x, y) \to x + y$ là một đồng cấu liên tục từ $G \times G$ vào $G$, ta suy ra (6).

Đối với chuỗi mà số hạng tổng quát là $x_n - y_n$ thì mọi số hạng của nó đều bằng không kể từ một chỉ số nào đó trở đi.

Hệ quả này có thể được phát biểu dưới dạng ta có thể thay đổi tùy ý một số hữu hạn số hạng của một chuỗi hội tụ mà chuỗi ấy vẫn không thôi hội tụ. Đặc biệt, nếu $y_n = 0$ với $n < m$, và $y_n = x_n$ với $n \geq m$, ta thấy rằng chuỗi có số hạng tổng quát là $y_n$ hội tụ khi và chỉ khi chuỗi có số hạng tổng quát là $x_n$ hội tụ; tổng của nó được ký hiệu là $\sum_{n=m}^{\infty} x_n$ và được gọi là thặng dư chỉ số $m$ của chuỗi $(x_n)$. Vì

Nếu một dãy $(x_n)_{n \in I}$ có tập chỉ số là một tập con vô hạn $I$ của $\mathbf{N}$, và nếu $\varphi$ ký hiệu song ánh bảo toàn thứ tự nghiêm ngặt từ $\mathbf{N}$ lên $I$, thì chuỗi xác định bởi dãy $(x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbf{N}}$ được gọi, do lạm dụng ngôn ngữ, là chuỗi xác định bởi dãy $(x_n)_{n \in I}$; nếu chuỗi này hội tụ, tổng của nó được ký hiệu là $\sum_{n \in I}^{\infty} x_n$. Ta kiểm tra ngay lập tức rằng chuỗi này hội tụ khi và chỉ khi chuỗi có số hạng tổng quát là $(z_n)$ hội tụ, trong đó $z_n = x_n$ nếu $n \in I$ và $z_n = 0$ nếu $n \in \mathbf{C} I$.

Điều quan trọng cần nhận thấy là nếu chuỗi được xác định bởi một dãy $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ hội tụ, thì có thể tồn tại những tập con vô hạn $I$ của $\mathbf{N}$ sao cho chuỗi được xác định bởi dãy con $(x_n)_{n \in I}$ không hội tụ (xem Bài tập 5 và Chương IV, § 7).

Các mệnh đề 4 và 5 mở rộng ngay lập tức cho chuỗi, và chúng tôi để việc phát biểu chúng trong trường hợp này cho bạn đọc.

Mệnh đề 8 (Tính kết hợp hạn chế của chuỗi). Cho $(k_n)$ là một dãy tăng ngặt các số nguyên $\geqslant 0$. Nếu chuỗi có số hạng tổng quát là $x_n$ hội tụ, và nếu đặt $u_n = \sum_{p=k_{n-1}}^{k_n-1} x_p$, thì chuỗi có số hạng tổng quát là $u_n$ hội tụ, và ta có $\sum_{n=0}^{\infty} u_n = \sum_{n=0}^{\infty} x_n$.

Thật vậy, dãy các tổng riêng của chuỗi $(u_n)$ là một dãy con $(s_{k_n-1})$ của dãy $(s_n)$ các tổng riêng của chuỗi $(x_n)$.

Nếu dãy là khả tổng, thì rõ ràng chuỗi là hội tụ giao hoán. Để chứng minh suy ra ngược lại, ta sẽ lập luận bằng reductio ad absurdum và giả sử rằng chuỗi $(x_n)$ là hội tụ giao hoán nhưng dãy $(x_n)$ không khả tổng. Khi đó ảnh của bộ lọc $\Phi$ dưới ánh xạ $H \to s_H$ không thể là một cơ sở bộ lọc Cauchy trong $G$, vì nếu không thì cơ sở bộ lọc này sẽ hội tụ, bởi theo giả thiết nó có một điểm tụ (Chương II, § 3, no. 2, Mệnh đề 5, Hệ quả 2). Do đó tồn tại một lân cận $V$ của 0 trong $G$ sao cho, với mỗi tập con hữu hạn $J$ của $\mathbf{N}$, tồn tại một tập con hữu hạn $H$ của $\mathbf{N}$ không giao với $J$ và sao cho $\sum_{n \in H} x_n \notin V$. Vì thế, bằng quy nạp, ta có thể định nghĩa một phân hoạch của $\mathbf{N}$ thành các tập con hữu hạn $H_k$ ($k \in \mathbf{N}$) sao cho $\sum_{n \in H_k} x_n \notin V$ với vô hạn chỉ số $k$. Rõ ràng tồn tại một phép hoán vị $\sigma$ của $\mathbf{N}$ sao cho với mỗi $k$, các giá trị của $n$ mà với chúng $\sigma(n) \in H_k$ là liên tiếp nhau. Nếu $\sigma$ là một phép hoán vị như vậy, thì chuỗi có số hạng tổng quát là $x_{\sigma(n)}$ không thể hội tụ, và ta được một mâu thuẫn.

Nếu nhóm $G$ được viết theo ký pháp nhân, thì tích vô hạn xác định bởi một dãy $(x_n)$ các điểm của $G$ (hoặc tích vô hạn có số hạng tổng quát là $x_n$, hoặc thậm chí tích $x_n$ nếu không có khả năng nhầm lẫn) được định nghĩa là cặp tạo bởi dãy $(x_n)$ và dãy các tích từng phần

Tích vô hạn được gọi là hội tụ nếu dãy $(p_n)$ hội tụ, và giới hạn của dãy này được ký hiệu bởi $\prod_{n=0}^{\infty} x_n$ (hoặc $\prod_{n=0}^{\infty} x_n$ do lạm dụng ký hiệu). Chúng tôi dành cho người đọc việc chép lại theo ký pháp nhân các tính chất của chuỗi mà chúng tôi đã thiết lập.